Question

[Nguyễn Dương]

S = 1 - 3 + 3² - 3³ + ..... + 3^{98 -} 3⁹⁹

a ) Chứng minh rằng S là bội của -20

b ) Tính S từ đó suy ra 3¹⁰⁰ chia cho 4 dư 1

Answer 1

[Ác Mộng]

a)S=1-3+3²+...+3⁹⁸-3⁹⁹

=-2+3²(1-3)+...+3⁹⁸(1-3)

=-2-2.3²-2.3⁴-...-2.3⁹⁸

=-2(1+3²+3⁴+...+3⁹⁸)

=-2[(1+3²+3⁴)+(3⁶+3⁸+3¹⁰)+...+(3⁹⁴+3⁹⁶+3⁹⁸)]

=-2[100+3⁶.100+...+3⁹⁴.100]

=-200(1+3⁶+...3⁹⁴)

Do -200 là bội của -20 =>-200(1+3⁶+...3⁹⁴) là bội của -20

=>S là bội của -20(ĐPCM)

b)S=1-3+3²+...+3⁹⁸-3⁹⁹

=-2+3²(1-3)+...+3⁹⁸(1-3)

=-2-2.3²-2.3⁴-...-2.3⁹⁸

=-2(1+3²+3⁴+...+3⁹⁸)

=>3²S=9S=-2(3²+3⁴+3⁶+...+3¹⁰⁰)

=>9S-S=-2(3²+3⁴+3⁶+...+3¹⁰⁰)+2(1+3²+3⁴+...+3⁹⁸)

=>8S=-2(3¹⁰⁰-1)

=>S=\(\frac{-2\left(3^{100}-1\right)}{-8}\)=\(\frac{3^{100}-1}{-4}\)

Do S chia hết cho -20 => S chia hết cho -4

=>(3¹⁰⁰-1):(-4)=(3¹⁰⁰-1).\(\frac{1}{-4}\) chia hết cho (-4)

Do \(\frac{1}{-4}\) không chia hết =>3¹⁰⁰-1 chia hết cho -4 =>3¹⁰⁰-1 chia hết cho 4

=>3¹⁰⁰ chia 4 dư 1(ĐPCM)

Answer 2

[✓ ℍɠŞ_ŦƦùM $₦G ✓]

a.S=1-3+3²-3³+...+3⁹⁸-3⁹⁹

=(1-3+3²-3³)+...+(3⁹⁶-3⁹⁷+3⁹⁸-3⁹⁹)

=(-20)+...+3⁹⁶.(1-3+3²-3³)

=(1+...+3⁹⁶).(-20) chia hết cho -20

=>đpcm

b.S=1-3+3²-3³+...+3⁹⁸-3⁹⁹

=>3S=3-3²+3³-3⁴+...+3⁹⁹-3¹⁰⁰

=>3S+S=(3-3²+3³-3⁴+...+3⁹⁹-3¹⁰⁰)+(1-3+3²-3³+...+3⁹⁸-3⁹⁹)

=>4S=1-3¹⁰⁰

\(\Rightarrow S=\frac{1-3^{100}}{4}\)

 S chia hết cho 4 =>1-3¹⁰⁰ chia hết cho 4

1 chia 4 dư 1 =>3¹⁰⁰ chia 4 dư 1

=>đpcm