Question

[Thủy Tiên Nguyễn]

10/ Cho tam giác MNP, các đường cao NA, PB cắt nhau tại H. Đường vuông góc với MN tại N và đường vuông góc với MP tại P cắt nhau ở I. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng NP. Chứng minh rằng:

a) MAN đồng dạng với MBP                

          b) HB . HP = HA . HN

c) Ba điểm H, K, I thẳng hàng.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔMAN vuông tại A và ΔMBP vuông tại B có

\(\widehat{AMN}\) chung

Do đó: ΔMAN~ΔMBP

b: Xét ΔHBN vuông tại B và ΔHAP vuông tại A có

\(\widehat{BHN}=\widehat{AHP}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó; ΔHBN~ΔHAP

=>\(\dfrac{HB}{HA}=\dfrac{HN}{HP}\)

=>\(HB\cdot HP=HA\cdot HN\)

c: Ta có: NA\(\perp\)MP

PI\(\perp\)MP

Do đó: NA//PI

=>NH//PI

ta có: PH\(\perp\)MN

NI\(\perp\)MN

Do đó: PH//NI

Xét tứ giác NHPI có

NH//PI

HP//NI

Do đó: NHPI là hình bình hành

=>NP cắt HI tại trung điểm của mỗi đường

mà K là trung điẻm của NP

nên K là trung điểm của HI

=>H,K,I thẳng hàng