Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
\(u_{n+1}=\frac{n+2}{2^{n+2}}\left(\frac{2}{1}+...+\frac{2^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+2}{2^{n+1}}\left(\frac{2^{n+1}}{n+1}u_n+\frac{2^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+2}{2n+2}(u_n+1)\)
Ta chứng minh $u_n\geq 1(*)$ với mọi $n=1,2,...$
Thật vậy:
$u_1=1; u_2=\frac{3}{2}>1$. Giả sử $(*)$ đúng đến $n=k$
$u_{k+1}=\frac{k+2}{2k+2}(u_k+1)>\frac{2(k+2)}{2k+2}>1$
Do đó $u_n\geq 1$ với mọi $n=1,2,...$
Tiếp theo ta chứng minh $u_n< 1+\frac{4}{n}(**)$ với mọi $n=1,2,...$
Thật vậy:
$u_1=1< 1+\frac{4}{1}$
$u_2=\frac{3}{2}< 1+\frac{4}{2};....;u_4=\frac{5}{3}<1+\frac{4}{4}$
....
Giả sử $(**)$ đúng đến $n=k\geq 5$. Khi đó:
\(u_{k+1}=\frac{k+2}{2k+2}(u_k+1)<\frac{k+2}{2k+2}(2+\frac{4}{k})=\frac{(k+2)^2}{k(k+1)}\)
\(\frac{(k+2)^2}{k(k+1)}-(1+\frac{4}{k+1})=\frac{(k+2)^2-k(k+5)}{k(k+1)}=\frac{4-k}{k(k+1)}<0\) với mọi $k\geq 5$
$\Rightarrow u_{k+1}< 1+\frac{4}{k+1}$. Phép quy nạp hoàn tất.
Do đó $(**)$ đúng
Từ $(*); (**)\Rightarrow 1\leq u_n\leq 1+\frac{4}{n}$ với mọi $n=1,2,...$
Mà $\lim (1+\frac{4}{n})=1$ khi $n\to +\infty$ nên $\lim u_n=1$
Bạn tham khảo câu trả lời của anh Lâm
https://hoc24.vn/cau-hoi/.334447965337
Hiện tại mới nghĩ được câu b thôi
b/ \(u_1=\dfrac{1}{2};u_2=\dfrac{1}{2-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{3};u_3=\dfrac{1}{2-\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{4}...\)
Nhận thấy \(u_n=\dfrac{n}{n+1}\) , ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp
\(n=k\Rightarrow u_k=\dfrac{k}{k+1}\)
Chứng minh cũng đúng với \(\forall n=k+1\)
\(\Rightarrow u_{k+1}=\dfrac{k+1}{k+2}\)
Ta có: \(u_{k+1}=\dfrac{1}{2-u_k}=\dfrac{1}{2-\dfrac{k}{k+1}}=\dfrac{k+1}{k+2}\)
Vậy biểu thức đúng với \(\forall n\in N\left(n\ne0\right)\)
\(\Rightarrow limu_n=lim\dfrac{n}{n+1}=lim\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}=1\)
a.
\(u_n=\dfrac{1}{\left(2-1\right)\left(2+1\right)}+\dfrac{1}{\left(3-1\right)\left(3+1\right)}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}\)
\(=\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{2.4}+\dfrac{1}{3.5}+...+\dfrac{1}{\left(n-2\right)n}+\dfrac{1}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{n-2}-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)\)
\(\Rightarrow\lim u_n=\lim\left(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)\right)=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}\)
b.
\(u_n=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\)
\(=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\)
\(=1-\dfrac{1}{n+1}\)
\(\Rightarrow\lim u_n=\lim\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)=1\)