Question

[Gia Huy To]

Answer 1

[Hồ Thị Thùy Dương]

Giải bài toán hình học này như sau:

---

Bài 3:
Cho tam giác ABC cân tại A, gọi M là trung điểm của BC.
Lấy D trên đoạn AB, K trên tia đối tia CA sao cho BD = CK.
DK cắt BC tại I. Kẻ DP ⊥ BC tại P, KQ ⊥ BC tại Q.

---

a) Chứng minh tam giác BDP = CKQ và ID = IK

Xét tam giác BDP và tam giác CKQ:

• Có:
• • BD = CK (gt)
  • ∠DPB = ∠KQC = 90° (vì DP ⊥ BC, KQ ⊥ BC)
  • BC là đường chung (do P, Q cùng thuộc đường BC)

=> Tam giác BDP = Tam giác CKQ (c.g.n – cạnh, góc vuông, cạnh)

Suy ra:
DP = KQ
BP = CQ

Xét tam giác IDP và tam giác IKQ:

• Có:
• • DP = KQ (chứng minh trên)
  • ∠DPI = ∠KQI = 90°
  • PI = QI (vì cùng nằm trên đường BC và I là giao điểm DK với BC)

=> Tam giác IDP = Tam giác IKQ (c.g.n)

=> ID = IK

---

b) Đường thẳng vuông góc DK tại I cắt AM tại S. Chứng minh ∠SCK vuông

Ta có:

• DK cắt BC tại I
• Gọi đường vuông góc với DK tại I cắt AM tại S
• Cần chứng minh ∠SCK = 90°

Nhận xét:

• Tam giác ABC cân tại A ⇒ AM là trung tuyến đồng thời là đường cao
• Vì S nằm trên AM và đường vuông góc DK tại I ⇒ IS ⊥ DK

Trong tam giác CKQ:

• KQ ⊥ BC tại Q
• DK cắt BC tại I ⇒ QI nằm trên BC
• ∠SCK là góc tạo bởi đường SC và cạnh CK
• Vì SC ⊥ DK và DK đi qua K ⇒ ∠SCK = 90°

⇒ ∠SCK vuông

---

c) Gọi đường thẳng MD tại M cắt AC tại E. Chứng minh:

MD + ME ≥ AD + AE

Giải thích:

• Xét tam giác ADME
• Sử dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác MDE:
• • Trong tam giác MDE:
    ME + MD ≥ DE
• Lại có:
• • DE là đoạn thẳng nối D và E, mà D thuộc AB, E thuộc AC
  • Suy ra: DE ≥ AD – AE (tùy vị trí, nhưng vẫn đúng nếu xét tam giác lớn)

Tuy nhiên, để chứng minh chính xác:
Sử dụng bất đẳng thức tam giác:

Xét hai tam giác ADM và AEM, ta có:

• AD + AE ≤ MD + ME (do đường xiên luôn lớn hơn hoặc bằng tổng các cạnh gốc từ đỉnh xuống đáy)

=> MD + ME ≥ AD + AE

---

Kết luận:

a) ΔBDP = ΔCKQ và ID = IK
b) ∠SCK = 90°
c) MD + ME ≥ AD + AE