Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Sửa đề: C/m tứ giác BEHC nội tiếp
Xét tứ giác BEHC có
\(\widehat{BEC}=\widehat{BHC}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{BEC}\) và \(\widehat{BHC}\) là hai góc cùng nhìn cạnh BC
Do đó: BEHC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
b) Gọi OD ⊥ AC tại I ( I thuộc OD)
Có: OD⊥ AC (gt) và CB⊥ AC ( △ABC vuông tại C)
Do đó OD // CB
Xét △ABC, có:
OD// CB (cmt)
O là trung điểm AB ( AB là đường kính)
Do đó OI là đường trung bình ABC
=>I là trung điểm AC
Có: OD ⊥ AC(gt) , I trung điểm AC (cmt) (I thuộc OD)
Nên OD là đường trung trực của AC
c)
Xét t/giác AOC, có:
AO=OC (=R)
Do đó t/giác AOC cân tại O
Mà OI ⊥ AC
Nên OI cũng là đường phân giác góc AOC
=> AOI = COI
Xét t/giác ADO và t/giác DOC, có:
OD chung
AOI = COI (cmt)
OA=OC (=R)
Do đó t/giác ADO = t/giác CDO (c-g-c)
=> DAO = DCO
Mà DAO= 90
Nên DCO = 90
Có C thuộc (O) ( dây cung BC)
Nên CD là tiếp tuyến
Lời giải:
Gọi vận tốc ca nô là x(km/h), x>3. Vận tốc ca nô xuôi dòng là x+3 (km/h)
Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là 40x+3 (giờ)
Vận tốc ca nô ngược dòng là x−3 (km/h)
Quãng đường ca nô ngược dòng từ B đến địa điểm gặp bè là : 40−8=32 km
Thời gian ca nô ngược dòng từ B đến địa điểm gặp bè là: 32x−3 (giờ)
Ta có phương trình: 40x+3+32x−3=83⇔5x+3+4x−3=13 ⇔15(x−3)+12(x+3)=x2−9
⇔x2=27x⇔[x=27x=0
So sánh với điều kiện thì chỉ có nghiệm x=27 thỏa mãn, suy ra vận tốc của ca nô là 27km/h
Pt hoành độ giao điểm:
\(x^2-mx+m-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)-m\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-m+1\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=m-1\end{matrix}\right.\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=1\\x_2=m-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m-1=5.1\Rightarrow m=6\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=m-1\\x_2=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow1=5\left(m-1\right)\Rightarrow m=\dfrac{2}{5}\)
II.2.
ĐKXĐ: \(x\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(x-\sqrt{x}-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=0\\\sqrt{x}+1=0\left(vô-nghiệm\right)\\\sqrt{x}-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=4\end{matrix}\right.\)
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
\(x^2=3mx+1-m^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-3mx+m^2-1=0\)
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) có hai nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow\text{Δ}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(-3m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m^2-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow9m^2-8m^2+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2+4\ge0\)(luôn đúng)
Suy ra: (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m
Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1\cdot x_2=m^2-1\\x_1+x_2=3m\end{matrix}\right.\)
Theo đề, ta có phương trình: \(3m=2\cdot\left(m^2-1\right)\)
\(\Leftrightarrow2m^2-2-3m=0\)
\(\Leftrightarrow2m^2-4m+m-2=0\)
\(\Leftrightarrow2m\left(m-2\right)+\left(m-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(2m+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-2=0\\2m+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\2m=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy: Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_1;x_2\) thỏa mãn \(x_1+x_2=2x_1x_2\) thì \(m\in\left\{2;-\dfrac{1}{2}\right\}\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$
Có: $x^2=3mx+1-m^$
$⇔x^2-3mx+m^2-1=0(1)$
Xét phương trình (1) có dạng $ax^2+bx+c=0$ với
$\begin{cases}a=1 \neq 0\\b=-3m\\c=m^2-1\end{cases}$
$⇒pt(1)$ là phương trình bậc hai một ẩn $x$
Có $\delta=b^2-4ac=9m^2-4.1.(m^2-1)=5m^2+4>0 \forall m$
suy ra $pt(1)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$
Theo hệ thức Viete có: $\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=3m\\x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=m^2-1\end{cases}$
Nên $x_1+x_2=2x_1.x_2$
$⇔3m=2.(m^2-1)$
$⇔2m^2-3m-2=0$
$⇔(m-2)(2m+1)=0$
$⇔$\(\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=\dfrac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy $m∈2;\dfrac{-1}{2}$ thỏa mãn đề
Lời giải:
a)
Theo bổ đề: Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh huyền dễ dàng suy ra $A\in (O)$
$\Rightarrow AMEB$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{MBE}=\widehat{MAE}=45^0$ (1)
$\widehat{BEM}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn) nên $BME$ là tam giác vuông tại $E$ (2)
Từ $(1);(2)$ suy ra $BME$ là tam giác vuông cân tại $E$.
b)
Từ kết quả phần a suy ra $EM=EB(3)$
Dễ dàng chứng minh $\triangle BEC=\triangle DEC$ (c.g.c)
$\Rightarrow BE=DE(4)$
Từ $(3);(4)\Rightarrow EM=ED$ (đpcm)
c)
Xét tứ giác $BECK$ có $\widehat{BEK}=\widehat{BCK}$ và cùng nhìn cạnh $BK$ nên $BECK$ là tứ giác nội tiếp.
$\Rightarrow \widehat{EBK}=\widehat{ECD}=\widehat{ACD}=45^0$
Do đó:
$\widehat{MBK}=\widehat{MBE}+\widehat{EBK}=45^0+45^0=90^0$
Xét tớ giác $BMDK$ có $\widehat{MBK}+\widehat{MDK}=90^0+90^0=180^0$ nên $BMDK$ là tứ giác nội tiếp
Suy ra đpcm.
d)
$\widehat{MBK}=90^0$ nên $MN\perp BK$ hay $OB\perp BK$
Do đó BK là tiếp tuyến của $(O)$ (đpcm)
a) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) vuông tại C
(hai góc nhọn trong tam giác vuông) hay
vuông tại H (hai góc nhọn trong tam giác vuông).
(cùng phụ với)
Lại có (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)
a) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{4}{5}\\\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{4}{5}\\\dfrac{2}{x}=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{4}{5}\\x=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{y}=\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{2}\\x=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1:\dfrac{3}{10}\\x=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{10}{3}\\x=2\end{matrix}\right.\)
vậy: ....
b_ \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{15}{x}-\dfrac{7}{y}=9\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{9}{y}=35\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{60}{x}-\dfrac{28}{y}=36\\\dfrac{60}{x}+\dfrac{135}{y}=525\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{163}{y}=489\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{9}{y}=35\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{3}\\\dfrac{4}{x}+9:\dfrac{1}{3}=35\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{3}\\\dfrac{4}{x}=8\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{3}\\x=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
vậy: ...
a: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne0\\y\ne0\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\dfrac{1}{x}=a;\dfrac{1}{y}=b\)
Hệ phương trình sẽ trở thành:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=\dfrac{4}{5}\\a-b=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+a-b=\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{5}\\a-b=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}2a=1\\b=a-\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{10}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{10}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)
b: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne0\\y\ne0\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\dfrac{1}{x}=a;\dfrac{1}{y}=b\)
Theo đề, ta có hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}15a-7b=9\\4a+9b=35\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}60a-28b=36\\60a+135b=525\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}163b=489\\4a+9b=35\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}b=3\\4a=35-9b=35-9\cdot3=35-27=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=3\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=2\\\dfrac{1}{y}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\y=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)(nhận)
c: ĐKXĐ: \(x\ne\pm y\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x-y}=\dfrac{5}{8}\\\dfrac{1}{x+y}-\dfrac{1}{x-y}=-\dfrac{3}{8}\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\dfrac{1}{x+y}=a;\dfrac{1}{x-y}=b\)
Theo đề, ta có hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=\dfrac{5}{8}\\a-b=-\dfrac{3}{8}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+a-b=\dfrac{5}{8}-\dfrac{3}{8}\\a-b=-\dfrac{3}{8}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}2a=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}\\b=a+\dfrac{3}{8}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{8}\\b=\dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+y}=\dfrac{1}{8}\\\dfrac{1}{x-y}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=8\\x-y=2\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+x-y=8+2\\x-y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=10\\y=x-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=5-2=3\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)
d: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}y\ne3x\\y\ne\dfrac{2}{3}x\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\dfrac{1}{3x+y}=a;\dfrac{1}{2x-3y}=b\)
Hệ phương trình sẽ trở thành:
\(\left\{{}\begin{matrix}5a+4b=-2\\3a-5b=21\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}15a+12b=-6\\15a-25b=105\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}37b=-111\\5a+4b=-2\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}b=-3\\5a=-2-4b=-2-4\cdot\left(-3\right)=-2+12=10\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}b=-3\\a=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+y=\dfrac{1}{2}\\2x-3y=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}9x+3y=\dfrac{3}{2}\\2x-3y=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}11x=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{6}\\3x+y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{7}{66}\\y=\dfrac{1}{2}-3x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{22}=\dfrac{4}{22}=\dfrac{2}{11}\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)
e: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne y-2\\x\ne-y+1\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\dfrac{1}{x-y+2}=a;\dfrac{1}{x+y-1}=b\)
Theo đề, ta có hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}7a-5b=4,5\\3a+2b=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}21a-15b=13,5\\21a+14b=28\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-29b=13,5-28=-14,5\\3a+2b=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{1}{2}\\3a=4-2b=4-1=3\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y+2=1\\x+y-1=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=-1\\x+y=3\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x=2\\x+y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=3-x=3-1=2\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)