Question

[Lâm]

Chứng minh rằng: 

\(2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< \frac{1}{\sqrt{b}}< 2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)\)

Biếta=b+1=c+2 và c>0

Answer 1

[NGUYỄN THẾ HIỆP]

Áp dụng BĐT Cauchy ta được: \(2\left(\sqrt{ab}-b\right)=2\left(\sqrt{b\left(b+1\right)}-b\right)< 2\left(\frac{2b+1}{2}-b\right)=1\)

\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< \frac{1}{\sqrt{b}}\)

không xảy ra dấu bằng

Vế còn lại: 

CHú ý: b+1=c+2 mà c>0 => b-1>0

\(2\left(b-\sqrt{bc}\right)=2\left(b-\sqrt{b\left(b-1\right)}\right)>2\left(b-\frac{2b-1}{2}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{b}}< 2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)\)

=> ĐPCM