Question

[Tuệ Lâm Phạm]

Answer 1

[Vũ Trường An]

Bước 1: Viết lại phương trình cho rõ hơn

Ta có:
\(5 \times 2^{y} = 2^{x + 1} - 123\)

Chúng ta cần tìm các cặp số \(\left(\right. x , y \left.\right)\) thỏa mãn phương trình này.

---

Bước 2: Phân tích phương trình

• \(2^{x + 1}\) là một lũy thừa của 2.
• \(2^{y}\) cũng là một lũy thừa của 2.

Vì thế, ta có thể viết lại:
\(2^{x + 1} = 5 \times 2^{y} + 123\)

Bước 3: Khám phá các giá trị khả thi

• Để đảm bảo \(2^{x + 1}\) là một lũy thừa của 2, thì vế trái là một số mũ của 2.
• Vế phải là tổng của \(5 \times 2^{y}\) và 123, trong đó \(5 \times 2^{y}\) là một số chẵn, còn 123 là số lẻ.

Lưu ý:

• \(5 \times 2^{y}\) luôn là số chẵn (vì \(2^{y}\) là chẵn trừ khi \(y = 0\), khi \(2^{0} = 1\), thì \(5 \times 1 = 5\) là số lẻ).
• Vì vậy, ta cần xem xét khả năng \(y = 0\) để biết rõ hơn.

---

Bước 4: Thử các giá trị của \(y\)

Trường hợp 1: \(y = 0\)

\(5 \times 2^{0} = 5\)
Phương trình trở thành:
\(5 = 2^{x + 1} - 123\)
\(2^{x + 1} = 128\)
Vì \(128 = 2^{7}\):
\(x + 1 = 7 \Rightarrow x = 6\)
Vậy, cặp nghiệm là:
\(\boxed{\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 6 , 0 \left.\right)}\)

---

Trường hợp 2: \(y = 1\)

\(5 \times 2^{1} = 10\)
Phương trình:
\(10 = 2^{x + 1} - 123\)
\(2^{x + 1} = 133\)
Không phải là một lũy thừa của 2 (vì \(2^{7} = 128\) và \(2^{8} = 256\)), nên không có nghiệm.

Trường hợp 3: \(y = 2\)

\(5 \times 2^{2} = 20\)
\(20 = 2^{x + 1} - 123\)
\(2^{x + 1} = 143\)
Không phải là lũy thừa của 2.

Các giá trị của \(2^{y}\) tăng dần, và \(5 \times 2^{y}\) sẽ là các số chẵn, cộng 123 (số lẻ) sẽ luôn cho ra tổng là số lẻ.

Vì vậy, \(2^{x + 1}\) phải là số lẻ, nhưng lũy thừa của 2 là số chẵn (trừ \(2^{0} = 1\)), và chỉ có \(2^{0} = 1\) là số lẻ.

---

Bước 5: Kiểm tra \(y = 0\) — đã có nghiệm

Chúng ta đã thấy khi \(y = 0\), \(x = 6\).

---

Kết luận:

• Nghiệm duy nhất của phương trình là:
  \(\boxed{\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 6 , 0 \left.\right)}\)