Question

[Phan đức thịnh]

1,2² + 2.3²  + 3.4² +........+ 99.100²

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

Hoặc em có thể làm cách này.

\(P=1.2^2+2.3^2+3.4^2+...+99.100^2\)

\(=1.2.\left(3-1\right)+2.3.\left(4-1\right)+3.4.\left(5-1\right)+...+99.100.\left(101-1\right)\)

\(=1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+99.100.101-99.100\)

\(=\left(1.2.3+2.3.4+...+99.100.101\right)-\left(1.2+2.3+...+99.100\right)\)

\(=25497450-333300=25164150\)

Answer 2

[Cô Hoàng Huyền]

Đặt \(A=1.2^2+2.3^2+...+99.100^2\)

\(B=2^2+3^2+...+100^2\)

\(\Rightarrow A+B=2.2^2+3.3^2+...+100.100^2=2^3+3^3+...+100^3\)

Ta có các công thức \(1^2+2^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)

\(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2\)

Vậy thì \(1+B=\frac{100.101.201}{6}=338350\Rightarrow B=338349\)

\(A+B+1=\left(1+2+...+100\right)^2=\left[\left(100+1\right).100:2\right]^2\)

\(\Rightarrow A+B=25502499\)

Vậy thì A = A + B - B = 25 502 499 - 338 349 =25 164 150.