cho tứ giác ABCD nội tiếp (O,R) ,AC vuông góc vs BD
cm \(\frac{AC}{BD}=\frac{AB.AD+CB.CD}{AB.BC+AD.DC}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HN
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 1 2022
M là trung điểm AB \(\Rightarrow\overrightarrow{IM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)\)
\(\Rightarrow2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{DC}=\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right).\left(\overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IC}\right)=\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{DI}\)
\(=\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{DI}=-IA.IC+IB.DI\)
Mặt khác do 2 tam giác vuông DIC và AIB đồng dạng (\(\widehat{IAB}=\widehat{IDC}\) cùng chắn BC)
\(\Rightarrow\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{IB}{IC}\Rightarrow IA.IC=IB.ID\Rightarrow-IA.IC+IB.ID=0\)
\(\Rightarrow2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{DC}=0\Rightarrow IM\perp DC\)
CM
5 tháng 6 2017
Kẻ đường kính BB’. Nối B’A, B’D, B’C.
Ta có:
= 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ AC // B'D ( cùng vuông góc với BD)
Suy ra, tứ giác ADB’C là hình thang
Vì ADB’C nội tiếp đường tròn (O) nên ADB’C là hình thang cân
⇒ CD = AB'
⇒ A B 2 + C D 2 = A B 2 + A B ' 2
Mà tam giác BAB’ vuông tại A do 
= 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ A B 2 + C D 2 = A B 2 + A B ' 2 = 2 R 2 = 4 R 2 (đpcm)
c/ OD vuông góc với MC
TK
0
TX
1
6 tháng 7 2016
Gọi DE là đường kính của (O;R)
Dễ thấy \(\hept{\begin{cases}AC\perp BD\\BE\perp BD\end{cases}}\)\(\Rightarrow BE\text{//}AC\Rightarrow BECA\)là hình thang mà BECA nội tiếp (O;R) nên BECA là hình thang cân.
Do đó ta có : AB = CE \(\Rightarrow AB^2+CD^2=CE^2+CD^2=DE^2=\left(2R\right)^2=4R^2\) không đổi.
Vậy ta có điều phải chứng minh.