Cho a,b>0 và \(a^3+b^3+6ab\le8\)
Tìm gtnn của \(P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{3}{ab}+ab\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BD
0
12 tháng 10 2018
ta có:
\(abc=ab+bc+ca\Rightarrow1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Lại có:
\(\frac{a^2}{b^3}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\ge\frac{3}{b},\frac{b^2}{c^3}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{3}{c},\frac{c^2}{a^3}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{a}\)
\(\Rightarrow P+2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\Rightarrow P\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1\)
K
17 tháng 9 2021
Ta có :\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)=3\)=> \(a+b+c\ge\sqrt{3}\)
\(\frac{a^3}{b^2+1}=\frac{a^3}{b^2+ab+bc+ac}=\frac{a^3}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\)
Áp dụng bđt cosi ta có:
\(\frac{a^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\frac{b+a}{8}+\frac{b+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{8.8}}=\frac{3}{4}a\)
CM tuong tự
=> \(P+2.\left(\frac{b+a}{8}+\frac{b+c}{8}+\frac{a+c}{8}\right)\ge\frac{3}{4}a+\frac{3}{4}b+\frac{3}{4}c\)
=>\(P\ge\frac{a+b+c}{4}\ge\frac{\sqrt{3}}{4}\)
=>\(MinP=\frac{\sqrt{3}}{4}\)xảy ra khi \(a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
TM
2 tháng 7 2017
Áp dụng bđt Cô-si: \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}\ge2\sqrt{\frac{a}{bc}.\frac{b}{ac}}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge2\sqrt{\frac{b}{ac}.\frac{c}{ab}}=\frac{1}{a}\)
\(\frac{c}{ab}+\frac{a}{bc}\ge2\sqrt{\frac{c}{ab}.\frac{a}{bc}}=\frac{1}{b}\)
cộng vế với vế ta được \(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
=>\(A=\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=2
Vậy minA=3/2 khi a=b=c=2
P
1
T
22 tháng 2 2020
\(A=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{ab^2}\ge\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}+\frac{4}{ab\left(a+b\right)}\)
\(\ge\left(\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}\right)+\frac{1}{ab}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{ab}\ge\frac{16}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}\ge16+4=20\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Từ giả thiết ta có:\(a^3+b^3+6ab-8\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-8-3ab\left(a+b\right)+6ab\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-2\right)\left[\left(a+b\right)^2+2\left(a+b\right)+4\right]-3ab\left(a+b-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2-ab+2a+2b+4\right)\le0\)
Ta thấy :\(a^2+b^2-ab+2a+2b+4=a^2-a\left(b-2\right)+b^2+2b+4\)
\(=a^2-a\left(b-2\right)+\frac{\left(b-2\right)^2}{4}+b^2+2b+4-\frac{\left(b-2\right)^2}{4}\)
\(=\left(a-\frac{b-2}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}+3b+3=\left(a-\frac{b-2}{2}\right)^2+3\left(\frac{b}{2}+1\right)^2>0\)
\(\Rightarrow a+b-2\le0\Leftrightarrow a+b\le2\)
Do đó ta có:\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\le\frac{2^2}{4}=1\Rightarrow ab\le1\)
Khi đó ta có:\(P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{3}{ab}+ab=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\left(\frac{1}{ab}+ab\right)+\frac{3}{2ab}\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{ab.\frac{1}{ab}}+\frac{3}{2.1}\ge\frac{4}{2^2}+2+\frac{3}{2}=1+2+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)
Dâu băng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1
Vậy P đạt GTNN là 9/2 khi a=b=1