Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\frac{1}{ab+2}+\frac{1}{bc+2}+\frac{1}{ca+2}\ge\frac{9}{ab+bc+ca+6}\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+6}=1\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
Vậy GTNN của P = 1 đạt tại x = y = z = 1
Áp dụng bất đẳng thức bu nhi a, ta có
\(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)^4\)
=>\(\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}\ge\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)^2\)
theo giả thiết,m ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le3\)
mà \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Rightarrow3\ge\frac{9}{a+b+c}\Rightarrow a+b+c\ge3\)
=>\(\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}\ge1\)
dấu bẳng xảy ra <=>a=b=c=1
nhok cho chị mượn chõ chút
Bạn tự vẽ hình nhé!
Kẻ LH vuông góc với AB tại H
dễ dàng có \(\Delta KHL=\Delta MAK\left(ch-gn\right)\)
=>AK=HL
đặt AB=a,AK=x =>AK=HL=BH=x => HK=\(a-2x\)
ta có \(S_{ABC}=\frac{a^2}{2}\) ;\(S_{KML}=\frac{KL^2}{2}=\frac{HK^2+BH^2}{2}=\frac{\left(a-2x\right)^2+x^2}{2}\)
đến đây là tìm min của pt bậc 2 là sẽ ra
a) \(B=\frac{x}{x+1}+\frac{2x-3}{x-1}-\frac{2x^2-x-3}{x^2-1}\)
\(B=\frac{x\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}+\frac{\left(2x-3\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{2x^2-x-3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)
\(B=\frac{\left(x^2-x\right)+\left(2x^2+2x-3x-3\right)-\left(2x^2-x-3\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\)
\(B=\frac{x^2-x+2x^2-x-3-2x^2+x+3}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\)
\(B=\frac{x^2-x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\)
\(B=\frac{x\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\)
\(B=\frac{x}{x+1}\)
MÌnh nghĩ đề câu b là với x>-4 mới đúng chứ
\(B=\frac{x}{x+1}+\frac{2x-3}{x-1}-\frac{2x^2-x-3}{\left(x^2-1\right)}.\)
\(=\frac{x\left(x-1\right)+\left(2x-3\right)\left(x+1\right)-2x^2+x+3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)
\(=\frac{x^2-x+2x^2-x-3-2x^2+x+3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)
\(=\frac{x^2-x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x}{x+1}\)
\(\Rightarrow A.B=\frac{x}{\left(x+1\right)}.\frac{x\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)}=\frac{x^2}{\left(x-2\right)}=\frac{x^2-4+4}{\left(x-2\right)}\)
\(=\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)+4}{\left(x-2\right)}=x+2+\frac{4}{x-2}=x-2+\frac{4}{x-2}+4\)
Áp dụng BĐT Cô - Si cho 2 số dương \(x-2;\frac{4}{x-2}\)ta có :
\(x-2+\frac{4}{x-2}\ge2\sqrt{\frac{\left(x-2\right).4}{x-2}}=2\sqrt{4}=4\)
\(\Rightarrow x-2+\frac{4}{x-2}\ge4\Rightarrow x-2+\frac{4}{x-2}+4\ge8\)
Hay \(S_{min}=4\Leftrightarrow x-2=\frac{4}{x-2}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x-2\right)^2}{\left(x-2\right)}=\frac{4}{x-2}\Rightarrow x^2+4x+4=4\)
\(\Rightarrow x^2+4x=0\Rightarrow x\left(x+4\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\left(tm\right)\\x=-4\left(ktm\right)\end{cases}}\)\(\Rightarrow...\)
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2ab+2bc+2ca}+\frac{1}{2ab+2bc+2ca}\)+2ca
Do a,b,c dương nên ADBĐT Cauchy ta được:
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{4}{(a+b+c)^2}=4\)
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow2ab+2bc+2ca\le\frac{2}{3}\)\(\Rightarrow\frac{1}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{3}{2}\)
Suy ra P\(\ge4+\frac{3}{2}=\frac{11}{2}\)
Dấu = khi a=b=c=\(\frac{1}{3}\)
ta có A=\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ca}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)
ta có \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+...=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{\frac{2}{3}}{2ab}+...\ge\frac{\left(1+3.\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=....\)
đến đây thì dễ rồi, cái kia cũng svacxơ và chú ý ab+bc+ca<=(a+b+c)^2/3
mượn chỗ nhok chút!
Áp dụng bđt bu nhi a, ta có
\(\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\)
mà \(\sqrt{2\left(x-y\right)^2+10x-6y+8}=\sqrt{2\left(x^2-2xy+y^2+5x-3y+4\right)}\)
=\(\sqrt{2\left(x-y+2\right)^2+2\left(x+y\right)}\ge\sqrt{2\left(x+y\right)}\)
=>VT<=VP
dấu = xảy ra <=> y=x+2
với x=y-2, thay vào A, ta có
A=\(x^4+\left(x+2\right)^2-5\left(x+x+2\right)+2020=x^4+x^2+4x+4-10x-10+2020\)
=\(x^4+x^2-6x+2014=x^4-2x^2+1+3\left(x^2-2x+1\right)+2010\)
=\(\left(x^2-1\right)^2+3\left(x-1\right)^2+2010\ge2010\)
dấu = xảy ra <=> x=1 và y=3
Đầu tiên,ta chứng minh BĐT phụ \(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)^2-4xy}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng).Dấu "=" xảy ra khi x = y.
Và BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\).Áp dụng BĐT AM-GM(Cô si),ta có; \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{\frac{\left(x+y\right)}{2}}=\frac{4}{x+y}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y
\(P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\)\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}\ge4+\frac{1}{\frac{1}{2}}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b và a + b = 1 tức là a=b=1/2
Vậy Min P = 6 khi a = b = 1/2
Từ giả thiết ta có:\(a^3+b^3+6ab-8\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-8-3ab\left(a+b\right)+6ab\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-2\right)\left[\left(a+b\right)^2+2\left(a+b\right)+4\right]-3ab\left(a+b-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2-ab+2a+2b+4\right)\le0\)
Ta thấy :\(a^2+b^2-ab+2a+2b+4=a^2-a\left(b-2\right)+b^2+2b+4\)
\(=a^2-a\left(b-2\right)+\frac{\left(b-2\right)^2}{4}+b^2+2b+4-\frac{\left(b-2\right)^2}{4}\)
\(=\left(a-\frac{b-2}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}+3b+3=\left(a-\frac{b-2}{2}\right)^2+3\left(\frac{b}{2}+1\right)^2>0\)
\(\Rightarrow a+b-2\le0\Leftrightarrow a+b\le2\)
Do đó ta có:\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\le\frac{2^2}{4}=1\Rightarrow ab\le1\)
Khi đó ta có:\(P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{3}{ab}+ab=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\left(\frac{1}{ab}+ab\right)+\frac{3}{2ab}\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{ab.\frac{1}{ab}}+\frac{3}{2.1}\ge\frac{4}{2^2}+2+\frac{3}{2}=1+2+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)
Dâu băng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1
Vậy P đạt GTNN là 9/2 khi a=b=1