Tìm min của \(\dfrac{a^2}{a-1}+\dfrac{b^2}{b-1}\) biết a, b > 1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AK
1
UK
15 tháng 12 2017
\(\dfrac{a^2}{a-1}+\dfrac{b^2}{b-1}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{a-1}.\dfrac{b^2}{b-1}}=\dfrac{2ab}{\sqrt{1\left(a-1\right)}.\sqrt{1\left(b-1\right)}}\ge\dfrac{2ab}{\dfrac{a-1+1}{2}.\dfrac{b-1+1}{2}}=8\)
Min là 8 khi \(a=b=2\)
L
0
MH
9 tháng 12 2021
ab=1
⇒ \(a=\dfrac{1}{b}\)
⇒ \(a^2=\dfrac{1}{b^2}\)
Thay vào P:
\(P=\dfrac{1}{\dfrac{1}{b^2}}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{2}{\dfrac{1}{b^2}+b^2}\)
\(=\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right)+\dfrac{2}{b^2+\dfrac{1}{b^2}}\)
Áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương
⇒ \(P\) ≥ \(2\sqrt{\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right).\dfrac{2}{b^2+\dfrac{1}{b^2}}}\)
\(=2\sqrt{2}\)
Min P= \(2\sqrt{2}\) ⇔ \(b^2=\dfrac{1}{b^2}\) ⇔b=1
XO
27 tháng 3 2022
Ta có \(a\sqrt{2-b^2}+b\sqrt{2-a^2}\le\dfrac{a^2+2-b^2}{2}+\dfrac{b^2-2-a^2}{2}=2\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{2-b^2}\\b=\sqrt{2-a^2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a^2+b^2=2\)
Ta có \(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-a-b\ge\dfrac{4}{a+b}-\left(a+b\right)\) (BĐT Schwarz)
= \(\dfrac{4}{a+b}+\left(a+b\right)-2\left(a+b\right)\ge2\sqrt{\dfrac{4}{a+b}.\left(a+b\right)}-2\left(a+b\right)\)
= 4 - 2a - 2b
Lại có 2a \(\le a^2+1\)
<=> -2a \(\ge-a^2-1\)
Tương tự : -2b \(\ge-b^2-1\)
Khi đó P \(\ge4-2a-2b\ge4-a^2-1-b^2-1=2-\left(a^2+b^2\right)=0\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 1
TN
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 10 2018
Lời giải:
Ta có:
\(A=\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\)
\(=(a+1)-\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}+(b+1)-\frac{c^2(b+1)}{c^2+1}+(c+1)-\frac{a^2(c+1)}{a^2+1}\)
\(=(a+b+c+3)-\underbrace{\left(\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}+\frac{c^2(b+1)}{c^2+1}+\frac{a^2(c+1)}{a^2+1}\right)}_{M}\)
\(=6-\underbrace{\left(\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}+\frac{c^2(b+1)}{c^2+1}+\frac{a^2(c+1)}{a^2+1}\right)}_{M}(*)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(M\leq \frac{b^2(a+1)}{2b}+\frac{c^2(b+1)}{2c}+\frac{a^2(c+1)}{2a}\)
\(\Leftrightarrow M\leq \frac{a+b+c+ab+bc+ac}{2}=\frac{3+ab+bc+ac}{2}\)
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:
\(3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2=9\Rightarrow ab+bc+ac\leq 3\)
Do đó: \(M\leq \frac{3+3}{2}=3(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow A\geq 6-3=3\)
Vậy \(A_{\min}=3\Leftrightarrow a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2023
a.
\(F=\dfrac{a}{b+2}\Rightarrow F.b+2F=a\)
\(\Rightarrow2F=a-F.b\)
\(\Rightarrow4F^2=\left(a-F.b\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(1^2+F^2\right)=F^2+1\)
\(\Rightarrow3F^2\le1\)
\(\Rightarrow-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\le F\le\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Dấu "=" lần lượt xảy ra tại \(\left(a;b\right)=\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\) và \(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\)
b. Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=x\\a-2b=y\end{matrix}\right.\) quay về câu a
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 5 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(a^2+\frac{1}{b^2}\right)(1+1)\geq (a+\frac{1}{b})^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\geq \frac{a+\frac{1}{b}}{\sqrt{2}}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{d^2}}+\sqrt{d^2+\frac{1}{a^2}}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}(a+b+c+d+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})\)
Mặt khác theo BĐT Cauchy:
\(a+\frac{1}{a}\geq 2; b+\frac{1}{b}\geq 2; c+\frac{1}{c}\geq 2; d+\frac{1}{d}\geq 2\)
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}.8=4\sqrt{2}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $4\sqrt{2}$. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=1$
Ta chứng minh bđt: \(\frac{x}{\sqrt{x-1}}\ge2\)
Thật vậy ta có: \(x=\left(x-1\right)+1\ge2\sqrt{x-1}\RightarrowĐPCM\)
Về bài toán, ta có:
\(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{b-1}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a-1}.\frac{b^2}{b-1}}=2.\frac{a}{\sqrt{a-1}}.\frac{b}{\sqrt{b-1}}\ge8\)
P/s: Ko chắc
\(\frac{a^2}{a-1}+\frac{^2b}{b-1}\)\(min\)
\(\Rightarrow\)a-1 min,b-1 min
mà a,b>1\(\Rightarrow\)a-1,b-1>0\(\Rightarrow\)a-1,b-1=1\(\Rightarrow\)a,b=2
vậy