Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có:
\(\dfrac{a^2}{a-1}\) \(\geq\) 4(*)
\(\Leftrightarrow\) a2 \(\geq\) 4.(a-1)
\(\Leftrightarrow\) a2 \(\geq\) 4a-4
\(\Leftrightarrow\) a2-4a+4 \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (a-2)2 \(\geq\) 0(**)
Ta có BĐT(**) luôn đúng nên suy ra BĐT(*) luôn đúng
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=2
B) Áp dụng câu a ta được:
\(\dfrac{4a^2}{a-1}=4.\dfrac{a^2}{a-1}\) \(\geq\) 4.4=16(1)
\(\dfrac{5b^2}{b-1}=5.\dfrac{b^2}{b-1}\) \(\geq\) 5.4=20(2)
\(\dfrac{3c^2}{c-1}=3.\dfrac{c^2}{c-1}\) \(\geq\) 3.4=12(3)
Cộng các BĐT(1),(2),(3) ta được
\(\dfrac{4a^2}{a-1}+\dfrac{5b^2}{b-1}+\dfrac{3c^2}{c-1}\) \(\geq\) 16+20+12=48
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=2
Đặt A= \(\dfrac{4a^2}{a-1}+\dfrac{8b^2}{b-1}+\dfrac{12c^2}{c-1}\)
Áp dụng BĐT đã CM ta có:
A= \(\dfrac{4a^2}{a-1}+\dfrac{8b^2}{b-1}+\dfrac{12c^2}{c-1}\) \(\geq\) 4.4+8.4+12.4=16+32+48=96
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{4a^2}{a-1}+\dfrac{8b^2}{b-1}+\dfrac{12c^2}{c-1}\) \(\geq\) 96
hay A \(\geq\) 96
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=2
Vậy MinA=96 khi và chỉ khi a=b=c=2
a)
Ta có :
\(\dfrac{a^2}{a-1}\ge4\) (1)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{a-1}\ge\dfrac{4a-4}{a-1}\left(\forall a-1\ne0\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2\ge4a-4\)
\(\Leftrightarrow a^2-4a+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2\ge0\)(luôn đúng) (2)
BĐT (2) đúng suy ra BĐT (1) luôn đúng
Dấu bằng xảy ra chỉ khi và khi a = 2
a)
\(A=\dfrac{2x^2-16x+41}{x^2-8x+22}=\dfrac{2\left(x^2-8x+22\right)-3}{x^2-8x+22}\)
\(A-2=-\dfrac{3}{x^2-8x+22}=-\dfrac{3}{\left(x-4\right)^2+6}\ge-\dfrac{3}{6}=-\dfrac{1}{2}\)
\(A\ge\dfrac{3}{2}\) khi x =4
Ta có : \(\dfrac{1}{a^2+1}=\dfrac{a^2+1-a^2}{a^2+1}=1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\)
Áp dụng BĐT Cô si ta có :
\(a^2+1\ge2a\)
\(\Leftrightarrow1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\ge1-\dfrac{a}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+1}\ge1-\dfrac{a}{2}\) (1)
Chứng minh tương tự ta được : \(\dfrac{1}{b^2+1}\ge1-\dfrac{b}{2}\)(2)
Cộng từng vế của (1)(2) ta được : \(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}\ge2-\left(\dfrac{a+b}{2}\right)=1\)
Dấu "=" xảy ra khi a = 1, b = 1 => a = b = 1.
Bạn xem lại chỗ Cô si ngược dấu nha
\(A+\dfrac{1}{4}\left(a+b+c\right)+\dfrac{3}{4}=\left(\dfrac{a^2}{b+1}+\dfrac{1}{4}\left(b+1\right)\right)+\left(\dfrac{b^2}{c+1}+\dfrac{1}{4}\left(c+1\right)\right)+\left(\dfrac{c^2}{a+1}+\left(a+1\right)\right)\)\(A+\dfrac{3}{2}\ge a+b+c=3\Rightarrow A\ge\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
\(A=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\ge\dfrac{4}{a^2+2ab+b^2}+\dfrac{1}{\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}}=\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=6\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = \(\dfrac{1}{2}\)
Ta có : A = \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)= \(\left(a-b\right)+\frac{1}{b\left(a-b\right)}+b\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số không âm , ta có
\(\left(a-b\right)+\frac{1}{b\left(a-b\right)}+b\) \(\ge3\sqrt[3]{\left(a-b\right)\frac{1}{b\left(a-b\right)}b}\)= 3
Dấu "=" xảy ra khi (a-b)=\(\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)= b
=> a=2 , b=1
Vậy Min A = 3 khi a=2, b=1
1a)\(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{1}{4}\)(1)
Lại có:\(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng\(\Rightarrowđpcm\)
1b)\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{2}+\dfrac{c^2}{2}\ge\dfrac{1}{6}\)(2)
Lại có:\(\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{2}+\dfrac{c^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=\dfrac{1}{6}\)
\(\Rightarrow\left(2\right)\) đúng\(\Rightarrowđpcm\)
2b)Ta có:\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(bđt phụ)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le\dfrac{4^2}{3}=\dfrac{16}{3}\)
\(\Rightarrow MAXA=\dfrac{16}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{4}{3}\)
Bài 1:
Áp dụng BĐt cauchy dạng phân thức:
\(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\ge\dfrac{4}{3\left(x+y\right)}\)
\(\Rightarrow\left(3x+3y\right)\left(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\right)\ge\left(3x+3y\right).\dfrac{4}{3x+3y}=4\)
dấu = xảy ra khi 2x+y=x+2y <=> x=y
Bài 2:
ta có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\ge\dfrac{4^2}{a+b+c+d}=\dfrac{16}{a+b+c+d}\)(theo BĐt cauchy-schwarz)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b+c+d}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)\)
Áp dụng BĐT trên vào bài toán ta có:
\(A=\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)\(A\le\dfrac{1}{16}.4\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
......
dấu = xảy ra khi a=b=c
Bài 2:
Áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương:
\(a^2+1\ge2a\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\le\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}\)
thiết lập tương tự:\(\dfrac{b}{b^2+1}\le\dfrac{1}{2};\dfrac{c}{c^2+1}\le\dfrac{1}{2}\)
cả 2 vế các BĐT đều dương ,cộng vế với vế,ta có dpcm
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
\(\dfrac{a^2}{a-1}+\dfrac{b^2}{b-1}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{a-1}.\dfrac{b^2}{b-1}}=\dfrac{2ab}{\sqrt{1\left(a-1\right)}.\sqrt{1\left(b-1\right)}}\ge\dfrac{2ab}{\dfrac{a-1+1}{2}.\dfrac{b-1+1}{2}}=8\)
Min là 8 khi \(a=b=2\)