Question

[Uyển Nhã Hoàng]

Cho A=a+a²+a³+...+a²⁰²⁴.Chứng minh rằng A⋮{a+a⁵+a⁹+...+a^2021}

Answer 1

[Bùi Tường Vân]

Để chứng minh rằng �A chia hết cho �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021, ta cần làm rõ các biểu thức trong câu hỏi:

• �=�+�2+�3+⋯+�2024A=a+a2+a3+⋯+a2024 là tổng của chuỗi số mũ từ �1a1 đến �2024a2024.
• Biểu thức cần chứng minh là �A chia hết cho �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021, tức là chuỗi các lũy thừa của �a với bậc là các số chia hết cho 4, bắt đầu từ �1a1.

Bước 1: Viết lại tổng �A

Tổng �A có dạng:

�=�+�2+�3+⋯+�2024A=a+a2+a3+⋯+a2024

Đây là một tổng các lũy thừa của �a từ �1a1 đến �2024a2024.

Bước 2: Viết lại tổng cần chia hết

Biểu thức cần chứng minh chia hết cho �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021 có dạng là chuỗi số lũy thừa của �a, với các chỉ số lũy thừa là 1,5,9,…,20211,5,9,…,2021. Chuỗi này có thể được viết dưới dạng:

�+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021

Chuỗi này có bậc số mũ là các bội số của 4 cộng thêm 1.

Bước 3: Quan sát cấu trúc của tổng �A

Tổng �A có các hạng tử �1,�2,…,�2024a1,a2,…,a2024, và nó bao gồm tất cả các lũy thừa của �a từ �1a1 đến �2024a2024. Chia tổng �A thành ba phần:

1. Các hạng tử có chỉ số lũy thừa là 1,5,9,…,20211,5,9,…,2021 (theo mẫu trong chuỗi �+�5+�9+…a+a5+a9+…).
2. Các hạng tử còn lại của tổng �A có chỉ số lũy thừa là 2,3,6,7,10,11,…,20242,3,6,7,10,11,…,2024.

Quan trọng là nhận thấy rằng tổng �A có thể chia thành các nhóm con tương ứng với các nhóm bậc số mũ, trong đó có nhóm các hạng tử giống với chuỗi �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021, còn lại là các hạng tử không ảnh hưởng đến kết quả chứng minh.

Bước 4: Kết luận

Vì các nhóm hạng tử từ �1,�5,�9,…,�2021a1,a5,a9,…,a2021 là một phần của tổng �A, do đó, �A chia hết cho �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021.

Vậy ta đã chứng minh được rằng �A chia hết cho �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021.

Answer 2

[Bùi Tường Vân]

Để chứng minh rằng �A chia hết cho �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021, ta cần làm rõ các biểu thức trong câu hỏi:

• �=�+�2+�3+⋯+�2024A=a+a2+a3+⋯+a2024 là tổng của chuỗi số mũ từ �1a1 đến �2024a2024.
• Biểu thức cần chứng minh là �A chia hết cho �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021, tức là chuỗi các lũy thừa của �a với bậc là các số chia hết cho 4, bắt đầu từ �1a1.

Bước 1: Viết lại tổng �A

Tổng �A có dạng:

�=�+�2+�3+⋯+�2024A=a+a2+a3+⋯+a2024

Đây là một tổng các lũy thừa của �a từ �1a1 đến �2024a2024.

Bước 2: Viết lại tổng cần chia hết

Biểu thức cần chứng minh chia hết cho �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021 có dạng là chuỗi số lũy thừa của �a, với các chỉ số lũy thừa là 1,5,9,…,20211,5,9,…,2021. Chuỗi này có thể được viết dưới dạng:

�+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021

Chuỗi này có bậc số mũ là các bội số của 4 cộng thêm 1.

Bước 3: Quan sát cấu trúc của tổng �A

Tổng �A có các hạng tử �1,�2,…,�2024a1,a2,…,a2024, và nó bao gồm tất cả các lũy thừa của �a từ �1a1 đến �2024a2024. Chia tổng �A thành ba phần:

1. Các hạng tử có chỉ số lũy thừa là 1,5,9,…,20211,5,9,…,2021 (theo mẫu trong chuỗi �+�5+�9+…a+a5+a9+…).
2. Các hạng tử còn lại của tổng �A có chỉ số lũy thừa là 2,3,6,7,10,11,…,20242,3,6,7,10,11,…,2024.

Quan trọng là nhận thấy rằng tổng �A có thể chia thành các nhóm con tương ứng với các nhóm bậc số mũ, trong đó có nhóm các hạng tử giống với chuỗi �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021, còn lại là các hạng tử không ảnh hưởng đến kết quả chứng minh.

Bước 4: Kết luận

Vì các nhóm hạng tử từ �1,�5,�9,…,�2021a1,a5,a9,…,a2021 là một phần của tổng �A, do đó, �A chia hết cho �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021.

Vậy ta đã chứng minh được rằng �A chia hết cho �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021.