Question

[Mafia]

Cho đường tròn \(\left(O\right)\), đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến \(Ax\), \(By\)

Lấy \(C\in Ax\), Kẻ tiếp tuyến \(CE\)tại tiếp điểm \(E\)cắt \(By\)tại \(D\)

a) C/M  \(\widehat{COD}=90^0\)

b) C/M  \(\Delta AEB\infty\Delta COD\)

c) C/M \(AB\)là tiếp tuyến tại  \(O\)của đường tròn \(\left(I;\frac{CD}{2}\right)\)

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

a) Ta thấy CA, CE là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O nên theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: 

\(\widehat{COA}=\widehat{COE}\)

Tương tự \(\widehat{DOE}=\widehat{DOB}\)

Suy ra \(\widehat{DOE}+\widehat{COE}=\widehat{DOB}+\widehat{COA}\Rightarrow\widehat{COD}=\widehat{DOB}+\widehat{COA}\)

Mà \(\widehat{DOB}+\widehat{COA}+\widehat{COD}=180^o\Rightarrow\widehat{COD}=90^o\)

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có \(OC\perp AE\)

\(\Rightarrow\widehat{OAE}=\widehat{ACO}\) (Cùng phụ với góc AOC)

Mà \(\widehat{ACO}=\widehat{ECO}\Rightarrow\widehat{COD}=\widehat{EAB}\) 

Vậy thì \(\Delta AEB\sim\Delta COD\left(g-g\right)\)

c) Gọi I là trung điểm CD. Xét hình thang ACDB có IO là đường trung bình nên IO // AC//BD

Vậy nên OI vuông góc với AB tại O, hay AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn (I, CD/2)