Cho 3 số x,y,z không âm thỏa mãn \(x+y+z=3\) và \(x^4+y^4+z^4=3xyz\). Hãy tính giá trị của biểu thức \(M=2000x^{2016}+y^{2016}+z^{2016}\)
Giúp tui với
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
2 tháng 1 2019
Áp dụng bđt cosi ta có:
\(\dfrac{x^4+y^4}{2}\ge\sqrt{x^4.y^4}=x^2.y^2\)
Chứng minh tương tự: \(\dfrac{y^4+z^4}{2}\ge y^2z^2\)
\(\dfrac{z^4+x^4}{2}\ge x^2z^2\)
Vậy \(\dfrac{x^4+y^4+y^4+z^4+z^4+x^4}{2}\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\left(1\right)\)
Ta lại có \(\dfrac{x^2y^2+y^2z^2}{2}\ge\sqrt{x^2y^2y^2z^2}=xy^2z\)
Chứng minh tương tự: \(\dfrac{y^2z^2+z^2x^2}{2}\ge yz^2x\)
\(\dfrac{z^2x^2+x^2y^2}{2}\ge zx^2y\)
Vậy \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xy^2z+xz^2y+zx^2y=xyz\left(x+y+z\right)=3xyz\left(2\right)\)
Từ (1),(2)\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge3xyz\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x^4=y^4=z^4\\x^2y^2=y^2z^2=z^2x^2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=z\)
Mà x+y+z=3\(\Rightarrow x=y=z=1\)
Vậy M=\(x^{2016}+y^{2916}+z^{2016}=1^{2016}+1^{2916}+z^{2016}=1+1+1=3\)
T
28 tháng 11 2019
Biến đổi tương đương giả thiết: \(\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\) (xét hiệu 2 vế, cái đẳng thức này quen thuộc nên bạn tự biến đổi)
Do x, y, z dương nên x + y + z > 0. Do đó để đẳng thức trong giả thiết xảy ra thì \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z\). Thay y, z bởi x vào M ta được M = 3.
Mình nêu hướng làm thôi!
PN
6 tháng 12 2015
Ta có:
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
nên \(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3\right)+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right).z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2-3xy\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2xz+x^2\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow^{x+y+z=0}_{x=y=z}\)
Do đó:
\(M=\left(2-\frac{x}{y}\right)^{2013}+\left(3-\frac{2x}{z}\right)^{2014}+\left(4-\frac{3z}{x}\right)^{2015}\)
\(=\left(2-\frac{y}{y}\right)^{2013}+\left(3-\frac{2z}{z}\right)^{2014}+\left(4-\frac{3x}{x}\right)^{2015}\)
\(=\left(2-1\right)^{2013}+\left(3-2\right)^{2014}+\left(4-3\right)^{2015}\)
\(M=1^{2013}+1^{2014}+1^{2015}=1+1+1=3\)
----------------------------------------------------
Từ :\(\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x^4+y^4+z^4=3xyz\end{cases}}\)\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4=\left(x+y+z\right)xyz=x^2yz+xy^2z+xyz^2\)
Áp dụng AM - GM ta có :
\(x^2yz=x.x.y.z\le\frac{x^4+x^4+y^4+z^4}{4}=\frac{2x^4+y^4+z^4}{4}\)
\(xy^2z=x.y.y.z\le\frac{x^4+y^4+y^4+z^4}{4}=\frac{x^4+2y^4+z^4}{4}\)
\(xyz^2=x.y.z.z\le\frac{x^4+y^4+z^4+z^4}{4}=\frac{x^4+y^4+2z^4}{4}\)
\(\Rightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le\frac{4\left(x^4+y^4+z^4\right)}{4}=x^4+y^4+z^4\)
Mà đề lại cho \(x^4+y^4+z^4=x^2yz+xy^2z+xyz^2\) \(\Rightarrow x=y=z\)
Kết hợp với x + y + z = 3 \(\Rightarrow x=y=z=1\)
Thay vào M ta được : \(M=2000.1^{2016}+1^{2016}+1^{2016}=2002\)
Thanks bạn