Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ :\(\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x^4+y^4+z^4=3xyz\end{cases}}\)\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4=\left(x+y+z\right)xyz=x^2yz+xy^2z+xyz^2\)
Áp dụng AM - GM ta có :
\(x^2yz=x.x.y.z\le\frac{x^4+x^4+y^4+z^4}{4}=\frac{2x^4+y^4+z^4}{4}\)
\(xy^2z=x.y.y.z\le\frac{x^4+y^4+y^4+z^4}{4}=\frac{x^4+2y^4+z^4}{4}\)
\(xyz^2=x.y.z.z\le\frac{x^4+y^4+z^4+z^4}{4}=\frac{x^4+y^4+2z^4}{4}\)
\(\Rightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le\frac{4\left(x^4+y^4+z^4\right)}{4}=x^4+y^4+z^4\)
Mà đề lại cho \(x^4+y^4+z^4=x^2yz+xy^2z+xyz^2\) \(\Rightarrow x=y=z\)
Kết hợp với x + y + z = 3 \(\Rightarrow x=y=z=1\)
Thay vào M ta được : \(M=2000.1^{2016}+1^{2016}+1^{2016}=2002\)
\(4=x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow\sqrt[3]{xyz}\le\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow xyz\le\dfrac{64}{27}\)(BĐT cauchy)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{4}{3}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$xy\le \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{(4-z)^2}{4}$
$\Rightarrow H\leq \frac{z(4-z)^2}{4}$
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
$z(4-z)\leq \frac{(z+4-z)^2}{4}=4$
$4-z\leq 2$ do $z\geq 2$
$\Rightarrow \frac{z(4-z)^2}{4}\leq \frac{4.2}{4}=2$
Hay $H\leq 2$
Vậy $H_{\max}=2$ khi $(x,y,z)=(1,1,2)$
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz-3xy\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2\right)-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\end{cases}}\)
Mà \(x,y,z>0\Rightarrow x+y+z\ne0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z\)
Thay vào biểu thức A ta được :
\(A=\frac{2018x-2019x+2020x}{\sqrt[3]{x^3}}=\frac{2019x}{x}=2019\)
Vậy ...
Tham khảo:
Cho 3 số thức x,y,z thỏa mãn \(x\ge1;y\ge4;z\ge9\) tìm giá trị lớn nhất của biết thức Q=\(\dfrac{yz\sqrt{x-1}+zx\sqrt... - Hoc24
giúp ko biết đc j ko nhỉ ^^
ta có \(x+y+z=0\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz.\)lúc đó
\(P=\frac{2018\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{2xy^2+2yz^2+2zx^2+3xyz}=2018.\frac{xy^2+yz^2+zx^2-x^2y-y^2z-z^2x}{xy^2+yz^2+zx^2+y^2\left(x+y\right)+x^2\left(x+z\right)+z^2\left(z+y\right)}\)
\(P=2018.\frac{xy^2+yz^2+zx^2-x^2y-y^2z-z^2x}{xy^2+yz^2+zx^2-x^2y-y^2z-z^2x}=2018\)
Lời giải:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}$
$\Rightarrow (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z})=0$
$\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z(x+y+z)}=0$
$\Leftrightarrow (x+y)(\frac{1}{xy}+\frac{1}{z(x+y+z)})=0$
$\Leftrightarrow (x+y).\frac{z(x+y+z)+xy}{xyz(x+y+z)}=0$
$\Leftrightarrow (x+y).\frac{(z+x)(z+y)}{xyz(x+y+z)}=0$
$\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(x+z)=0$
$\Leftrightarrow x=-y$ hoặc $y=-z$ hoặc $z=-x$
Nếu $x=-y$ thì:
$P=\frac{3}{4}+[(-y)^8-y^8](y^9+z^9)(z^{10}-x^{10})=\frac{3}{4}+0.(y^9+z^9)(z^{10}-x^{10})=\frac{3}{4}$
Nếu $y=-z$ thì:
$P=\frac{3}{4}+(x^8-y^8)[(-z)^9+z^9](z^{10}-x^{10})=\frac{3}{4}+(x^8-y^8).0.(z^{10}-x^{10})=\frac{3}{4}$
Nếu $z=-x$ thì:
$P=\frac{3}{4}+(x^8-y^8)(y^9+z^9)[(-x)^{10}-x^{10}]=\frac{3}{4}+(x^8-y^8)(y^9+z^9).0=\frac{3}{4}$
Có \(P=\dfrac{x+z}{xyz}=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{1}{y}.\dfrac{4}{x+z}\)
\(=\dfrac{4}{y\left(x+z\right)}=\dfrac{4}{y\left(4-y\right)}=\dfrac{4}{-y^2+4y}=\dfrac{4}{-\left(y-2\right)^2+4}\ge1\)
"=" xảy ra khi y = 2 ; x = 1 ; z = 1
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
4A = (x + y + z + t)2(x + y + z)(x + y)/xyzt
>= 4(x + y + z)t(x + y + z)(x + y)/xyzt
>= 4(x + y + z)2(x + y)/xyz >= 4 . 4(x + y)z(x + y)/xyz
>= 16(x + y)2/xy >= 16 . 4xy/xy >= 64
=> A >= 16
Áp dụng bđt cosi ta có:
\(\dfrac{x^4+y^4}{2}\ge\sqrt{x^4.y^4}=x^2.y^2\)
Chứng minh tương tự: \(\dfrac{y^4+z^4}{2}\ge y^2z^2\)
\(\dfrac{z^4+x^4}{2}\ge x^2z^2\)
Vậy \(\dfrac{x^4+y^4+y^4+z^4+z^4+x^4}{2}\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\left(1\right)\)
Ta lại có \(\dfrac{x^2y^2+y^2z^2}{2}\ge\sqrt{x^2y^2y^2z^2}=xy^2z\)
Chứng minh tương tự: \(\dfrac{y^2z^2+z^2x^2}{2}\ge yz^2x\)
\(\dfrac{z^2x^2+x^2y^2}{2}\ge zx^2y\)
Vậy \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xy^2z+xz^2y+zx^2y=xyz\left(x+y+z\right)=3xyz\left(2\right)\)
Từ (1),(2)\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge3xyz\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x^4=y^4=z^4\\x^2y^2=y^2z^2=z^2x^2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=z\)
Mà x+y+z=3\(\Rightarrow x=y=z=1\)
Vậy M=\(x^{2016}+y^{2916}+z^{2016}=1^{2016}+1^{2916}+z^{2016}=1+1+1=3\)