Question

[Nguyễn Thùy Chi]

Giải phương trình:

\(x^4=4\sqrt[4]{4x+1}+1\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

ĐKXĐ: \(x\ge-\dfrac{1}{4}\)

- Với \(-\dfrac{1}{4}\le x\le0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^4< \dfrac{1}{4^4}< 1\\\sqrt[4]{4x+1}\ge0\Rightarrow4\sqrt[4]{4x+1}+1\ge1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^4< 4\sqrt[4]{4x+1}+1\) nên pt vô nghiệm

- Với \(x>0\):

Đặt \(\sqrt[4]{4x+1}=a>0\Rightarrow4x+1=a^4\) 

Ta được hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^4=4a+1\\a^4=4x+1\end{matrix}\right.\)

Trừ vế cho vế:

\(\Rightarrow x^4-a^4=4\left(a-x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+a\right)\left(x^2+a^2\right)+4\left(x-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left[\left(x+a\right)\left(x^2+a^2\right)+4\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x=a\) (do \(\left(x+a\right)\left(x^2+a^2\right)+4>0\) với \(a;x>0\))

\(\Leftrightarrow x=\sqrt[4]{4x+1}\)

\(\Leftrightarrow x^4=4x+1\)

\(\Leftrightarrow x^4-4x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4+2x^2+1\right)-\left(2x^2+4x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)^2-2\left(x+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+1=\sqrt{2}\left(x+1\right)\) (do \(x>0\) nên chỉ có TH này xảy ra khi khai căn)

\(\Leftrightarrow x^2-\sqrt{2}x+1-\sqrt{2}=0\)

Pt bậc 2 bình thường, em có thể tính delta và giải theo công thức nghiệm