cho a,b>0 CM
\(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\)\(+\sqrt{b^2+\frac{1}{a^2}}\)\(\ge2\sqrt{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 7 2016
1. Ta có : \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2>0\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b>0\Leftrightarrow a+b>2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{ab}}>\frac{2}{a+b}\)
2. Áp dụng từ câu 1) , ta có :
\(\frac{1}{\sqrt{1.2005}}+\frac{1}{\sqrt{2.2004}}+...+\frac{1}{\sqrt{2005.1}}>\frac{2}{1+2005}+\frac{2}{2+2004}+...+\frac{2}{2005+1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{1.2005}}+\frac{1}{\sqrt{2.2004}}+...+\frac{1}{\sqrt{2005.1}}< \frac{2.2005}{2006}=\frac{2005}{1003}\)
3. Ta có : \(\left(\frac{x^2+y^2}{x-y}\right)^2=\frac{x^4+2x^2y^2+y^4}{x^2-2xy+y^2}=\frac{x^4+y^4+2}{x^2+y^2-2}\)
Đặt \(t=x^2+y^2,t\ge0\Rightarrow\frac{x^4+y^4+2}{x^2+y^2-2}=\frac{t^2-2+2}{t-2}=\frac{t^2}{t-2}\)
Xét : \(\frac{t-2}{t^2}=\frac{1}{t}-\frac{2}{t^2}=-2\left(\frac{1}{t^2}-\frac{2}{t.4}+\frac{1}{16}\right)+\frac{1}{8}=-2\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{8}\le\frac{1}{8}\)
\(\Rightarrow\frac{t^2}{t-2}\ge8\Rightarrow\left(\frac{x^2+y^2}{x-y}\right)^2\ge8\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)
PH
1
7 tháng 4 2020
Có \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}=\frac{a-b}{2}+\frac{a-b}{2}+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}\)
Áp dụng BĐT Cosi cho 4 số ta có:
\(\frac{a-b}{2}+\frac{a-b}{2}+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}\ge4\sqrt[4]{\frac{a-b}{2}\cdot\frac{a-b}{2}\cdot b\cdot\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}}\)
\(=4\cdot\sqrt[4]{\frac{1}{4}}=1\cdot\frac{\sqrt{1}}{2}=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow a+\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}\ge2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a-b}{2}=b\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{2}=\frac{3b}{2}\Leftrightarrow a=3b\)
Cách giải: Linh Vy. Trình bày: Nhật Quỳnh
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 3 2019
2/
a/ \(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge2\sqrt{\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}}=2\), dấu "=" khi \(a=1\)
b/ \(a+b+\frac{1}{2}=a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{a.\frac{1}{4}}+2\sqrt{b.\frac{1}{4}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
Dấu "=" khi \(a=b=\frac{1}{4}\)
c/ Có lẽ bạn viết đề nhầm, nếu đề đúng thế này thì mình ko biết làm
Còn đề như vậy: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\) thì làm như sau:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\) ; \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\); \(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}+\frac{2}{\sqrt{yz}}+\frac{2}{\sqrt{xz}}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\)
Dấu "=" khi \(x=y=z\)
d/ \(\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-2}-\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}=\frac{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}-\frac{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)}{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)}\)
\(=\frac{7+4\sqrt{3}}{3-4}-\frac{7-4\sqrt{3}}{3-4}=-7-4\sqrt{3}+7-4\sqrt{3}=-8\sqrt{3}\)
e/ \(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}:\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}\right)^3+\left(\sqrt{b}\right)^3}{\sqrt{ab}}.\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b-\sqrt{ab}\right)}{\sqrt{ab}}\)
\(=\frac{a^2-b^2}{\sqrt{ab}}-\left(a-b\right)\) (bạn chép đề sai)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 6 2020
\(\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}=\frac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(ab+2c^2\right)\left(a^2+b^2+ab\right)}}\ge\frac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2ab+2c^2}\ge\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}=ab+2c^2\)
Tương tự: \(\sqrt{\frac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\ge bc+2a^2\) ; \(\sqrt{\frac{ca+2b^2}{1+ac-b^2}}\ge ca+2b^2\)
Cộng vế với vế:
\(VT\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca=2+ab+bc+ca\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 10 2020
1.
\(A=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}-4\sqrt{6+2\sqrt{5}}}}{\sqrt{6-2\sqrt{5}}+2}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}-4\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}}}{\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}+2}\)
\(=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}-4\sqrt{5}-4}}{\sqrt{5}-1+2}=\frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)
b. Thôi nhìn biến đổi khủng thế này thì nhường bạn :))
2.
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có 2 số cùng tính chẵn lẻ
\(\Rightarrow\) có ít nhất một trong 3 hiệu \(a-b\) ; \(a-c\) ; \(b-c\) là chẵn
\(\Rightarrow a+b+c\) chẵn
- Nếu a;b;c cùng số dư khi chia hết cho 3 thì \(a-b;a-c;b-c\) đều chia hết cho 3 \(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)⋮27\Rightarrow a+b+c⋮27\)
Mà 27 và 2 nguyên tố cùng nhau nên \(a+b+c⋮\left(27.2=54\right)\)
- Nếu a;b;c chia 3 ra 3 loại số dư khác nhau là 0;1;2 \(\Rightarrow a+b+c⋮3\)
Đồng thời cả \(a-b;b-c;c-a\) đều ko chia hết cho 3
\(\Rightarrow\) Không thỏa mãn \(\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)=a+b+c\)
- Nếu trong 3 số a;b;c có 2 số cùng số dư khi chia hết cho 3 và 1 số chia 3 khác số dư
\(\Rightarrow\) \(a+b+c⋮̸3\)
Trong khi đó ít nhất 1 trong 3 hiệu \(a-b;b-c;c-a\) sẽ có 1 giá trị chia hết cho 3 (do có 2 số cùng số dư khi chia 3)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)=a+b+c\) ko thỏa mãn
Vậy \(a+b+c⋮54\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 10 2020
2b
Câu này đề có sai ko bạn? Trong căn là \(2\sqrt{x+4}\) thì còn có lý
Pt như nguyên mẫu được biến đổi thành:
\(\left(x^2+6x+9\right)+\left(x-4-2\sqrt{x-4}+1\right)+8=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)^2+\left(\sqrt{x-4}-1\right)^2+8=0\)
Hiển nhiên vô nghiệm
3.
\(\frac{a}{a+1}\ge1-\frac{b}{b+1}+1-\frac{c}{c+1}=\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Tương tự: \(\frac{b}{b+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}}\) ; \(\frac{c}{c+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\)
Nhân vế với vế: \(\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{8}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)
\(\Rightarrow abc\ge8\)
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{a^2}}\ge\sqrt{2\frac{a^2}{b^2}}+\sqrt{2\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{2}\frac{a}{b}+\sqrt{2}\frac{b}{a}\)
\(=\sqrt{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge\sqrt{2}.2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\sqrt{2}\)