PH
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
23 tháng 2 2019
\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2}+2\ge2\)
<=> Sai đề
Y
19 tháng 5 2019
Theo BĐT AM-GM :
\(\sqrt{b}=\sqrt{b\cdot1}\le\frac{b+1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{b}}\ge\frac{a}{\frac{b+1}{2}}=\frac{2a}{b+1}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=1\)
+ Tương tự ta cm đc :
\(\frac{b}{\sqrt{c}}\ge\frac{2b}{c+1}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow c=1\)
\(\frac{c}{\sqrt{a}}\ge\frac{2c}{a+1}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)
Do đó : \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\ge2\left(\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+}+\frac{c}{a+1}\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
6 tháng 10 2020
1. BĐT tương đương với \(6\left(a^2+b^2\right)-2ab+8-4\left(a\sqrt{b^2+1}+b\sqrt{a^2+1}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[a^2-4a\sqrt{b^2+1}+4\left(b^2+1\right)\right]+\left[b^2-4b\sqrt{a^2+1}+4\left(a^2+1\right)\right]\)\(+\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{b^2+1}\right)^2+\left(b-2\sqrt{a^2+1}\right)^2+\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
=> Đẳng thức không xảy ra
6 tháng 10 2020
2. \(a^4+b^4+c^2+1\ge2a\left(ab^2-a+c+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^2+1\ge2a^2b^2-2a^2+2ac+2a\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c-a\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)
LT
1
15 tháng 10 2017
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{a^2}}\ge\sqrt{2\frac{a^2}{b^2}}+\sqrt{2\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{2}\frac{a}{b}+\sqrt{2}\frac{b}{a}\)
\(=\sqrt{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge\sqrt{2}.2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\sqrt{2}\)
11 tháng 8 2016
Đặt \(x=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=x^2-2\)
Xét mẫu thức : \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=x^2-x-2=\left(x+1\right)\left(x-2\right)\)
Thay \(x=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\) được mẫu thức : \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right).\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\)
Ta có : \(P=\frac{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2}{\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)}=\frac{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right).\frac{\left(a-b\right)^2}{a^2b^2}}{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right).\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{a^2b^2}.\frac{ab}{\left(a-b\right)^2}=\frac{1}{ab}\) (đpcm)
b) Áp dụng bđt Cauchy :
\(1=4a+b+\sqrt{ab}\ge2\sqrt{4a.b}+\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow5\sqrt{ab}\le1\Rightarrow ab\le\frac{1}{25}\)
\(\Rightarrow P=\frac{1}{ab}\ge25\) . Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}4a+b+\sqrt{ab}=1\\4a=b\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=\frac{1}{10}\\b=\frac{2}{5}\end{cases}\)
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 25 tại \(\left(a;b\right)=\left(\frac{1}{10};\frac{2}{5}\right)\)
11 tháng 8 2016
pn ơi , bđt cauchy : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
s lại là \(2\sqrt{4a.b}+\sqrt{ab}\)
PN
5 tháng 7 2020
Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số không âm :
\(x^2+\frac{1}{x}\ge2\sqrt[2]{\frac{x^2}{x}}=2.\sqrt{x}\)
\(y^2+\frac{1}{y}\ge2\sqrt[2]{\frac{y^2}{y}}=2.\sqrt{y}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng mình
5 tháng 7 2020
Ta đi chứng minh:\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)* đúng *
Khi đó:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{abc\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{b}{abc\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)
Có \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}=\frac{a-b}{2}+\frac{a-b}{2}+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}\)
Áp dụng BĐT Cosi cho 4 số ta có:
\(\frac{a-b}{2}+\frac{a-b}{2}+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}\ge4\sqrt[4]{\frac{a-b}{2}\cdot\frac{a-b}{2}\cdot b\cdot\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}}\)
\(=4\cdot\sqrt[4]{\frac{1}{4}}=1\cdot\frac{\sqrt{1}}{2}=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow a+\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}\ge2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a-b}{2}=b\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{2}=\frac{3b}{2}\Leftrightarrow a=3b\)
Cách giải: Linh Vy. Trình bày: Nhật Quỳnh