Question

[Ca Lê Thanh Tùng]

Câu 8. (3 điểm) Cho ∆𝐴𝐵𝐶 nhọn nội tiếp (𝑂). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại 𝐻. 𝐴𝐻 cắt (𝑂) tại

điểm thứ hai 𝐺. Gọi 𝐼,𝐽 lần lượt là các điểm trên cạnh 𝐴𝐶, 𝐴𝐵 sao cho HI//DE và HJ//DF

a) Chứng minh rằng các tứ giác 𝐵𝐹𝐸𝐶, 𝐶𝐷𝐻𝐸 nội tiếp.

b) Gọi 𝐾 là giao điểm thứ 2 của 𝐵𝐸 và đường tròn (𝑂). Chứng minh rằng ba điểm 𝐼,𝐽,𝐾 thẳng hàng.

c) 𝐼𝐽 cắt (𝑂) tại 𝐿 khác 𝐾 . Gọi 𝑁 là giao điểm 𝐼𝐽 và 𝐴𝐻. Chứng minh 𝐶, 𝐹, 𝐿 thẳng hàng và 𝐴𝑁. 𝐴𝐺 = 𝐴𝐻2

Answer 1

[Hello!]

Câu 8:
a) Ta có:
 - Góc BFC và góc BEC cùng nhìn cạnh BC dưới hai góc vuông (do BF và BE là đường cao), suy ra tứ giác BFEC nội tiếp.
Tứ giác CDHE nội tiếp vì:
- Góc CHD và góc CED cùng nhìn cạnh CD dưới hai góc vuông (do CF và DE là đường cao), suy ra tứ giác CDHE nội tiếp.

b) Theo định lý Pascal, ta có:
- Giao điểm của AH và BE là H.
- Giao điểm của HG và EK là I (do HI//DE và DE cắt EK tại I).
- Giao điểm của GB và KA là J (do HJ//DF và DF cắt KA tại J).
Vì H, I, J thẳng hàng, theo định lý Pascal, điểm K cũng phải nằm trên đường thẳng này, suy ra I, J, K thẳng hàng.

c) Ta có:
- CF là tiếp tuyến của (O) tại C (do CF là đường cao và F là tiếp điểm).
- CL là dây cung (do L nằm trên (O)).
Vì góc CFL là góc tạo bởi tiếp tuyến CF và dây cung CL, nên góc CFL bằng góc LCO (góc nội tiếp cùng chắn cung CL). Tương tự, góc LFC bằng góc LCO. Do đó, C, F, L thẳng hàng.
Ta có:
- Góc ANG bằng góc AGH (do HI//DE và HJ//DF).
- Góc AGH bằng nửa góc AOH (góc ở tâm cùng chắn cung AH).
Vì AH là đường kính của (O), nên góc AOH là góc vuông. Do đó, góc AGH là \(\dfrac{1}{2}\) góc vuông, suy ra tam giác AHG vuông tại H. Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác AHG, ta có:

\(AN\cdot AG=AH^2\)