Question

[Thiên Bảo Đặng Hoàng]

Cho \(\Delta ABC\) nhọn (AB < AC). Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H

a) Cm: \(\Delta ADC\) \(\text{ᔕ}\) \(\Delta BEC\) từ đó suy ra AD.BC = AC.BE

b) Chứng minh \(\hat{CED}\) = \(\hat{CBA}\)

c) Kẻ đường cao CF của \(\Delta ABC\). Chứng minh tia EB là tia phân giác của \(\hat{DEF}\)

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔCEB vuông tại E và ΔCDA vuông tại D có

\(\widehat{ECB}\) chung

Do đó: ΔCEB~ΔCDA

=>\(\dfrac{BE}{DA}=\dfrac{CB}{CA}\)

=>\(BE\cdot CA=CB\cdot DA\)

b: ΔCEB~ΔCDA

=>\(\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{CB}{CA}\)

=>\(\dfrac{CE}{CB}=\dfrac{CD}{CA}\)

Xét ΔCED và ΔCBA có

\(\dfrac{CE}{CB}=\dfrac{CD}{CA}\)

\(\widehat{ECD}\) chung

Do đó: ΔCED~ΔCBA

=>\(\widehat{CED}=\widehat{CBA}\)

c: Xét ΔABC có

BE,AD là các đường cao

BE cắt AD tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>CH\(\perp\)AB

=>C,H,F thẳng hàng

Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác EHDC có \(\widehat{HEC}+\widehat{HDC}=90^0+90^0=180^0\)

nên EHDC là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\widehat{FEH}=\widehat{FAH}\)(AEHF nội tiếp)

\(\widehat{DEH}=\widehat{DCH}\)(EHDC nội tiếp)

mà \(\widehat{FAH}=\widehat{DCH}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

nên \(\widehat{FEH}=\widehat{DEH}\)

=>EB là phân giác của góc DEF