Question

[Melanie07]

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao BE, Gọi H và K lần lượt là chân đường cao
kẻ từ E đến các đường thẳng AB và BC.
1) Chứng minh BHEK là tứ giác nội tiếp và HKE = AEH.
2) Gọi F là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB, G là giao điểm của BE và CF; AG cắt BC tại Q; O là
trung điểm của BC. Chứng minh BHBA = BKBC và bốn điểm E, F, Q, O cùng thuộc một đường tròn.
3) Gọi P là trung điểm của AG; I là trung điểm của EF.
a) Chứng minh PF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
b) Chứng minh ba điểm H,I,K là ba điểm thẳng hàng.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

1: Xét tứ giác BHEK có \(\widehat{BHE}+\widehat{BKE}=90^0+90^0=180^0\)

nên BHEK là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{HKE}=\widehat{HBE}\)

mà \(\widehat{HBE}=\widehat{HEA}\left(=90^0-\widehat{BAE}\right)\)

nên \(\widehat{HKE}=\widehat{AEH}\)

2: Xét ΔBEA vuông tại E có EH là đường cao

nên \(BH\cdot BA=BE^2\left(1\right)\)

Xét ΔBEC vuông tại E có EK là đường cao

nên \(BK\cdot BC=BE^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(BH\cdot BA=BK\cdot BC\)

3:

a: ΔFAG vuông tại F

mà FP là đường trung tuyến

nên PF=PG

=>\(\widehat{PFG}=\widehat{PGF}\)

=>\(\widehat{PFG}=\widehat{CGQ}\)

ΔFBC vuông tại F

mà FO là đường trung tuyến

nên FO=OB=OC

=>ΔOCF cân tại O

=>\(\widehat{OCF}=\widehat{OFC}\)

\(\widehat{PFO}=\widehat{PFC}+\widehat{OFC}=\widehat{QGO}+\widehat{QOG}=90^0\)

=>PF là tiếp tuyến của (O)(ĐPCM)