Tam giác ABC vuông góc với góc A < 90 độ, kẻ AH vuông góc với BC tại H, xác định các điểm M và N sao cho AB là đường trung trực của MH; AC là đường trung trực của NH. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của MN với AB và AC. Chứng minh rằng:
a) Tam giác EMH và tam giác FNH là tam giác cân
b) AH là đường phân giác của góc EHP.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét ΔEMH có
EP vừa là đường cao, vừa là trung tuyến
=>ΔEMH cân tại E
Xét ΔFHN có
FQ vừa là đường cao, vừa là trung tuyến
=>ΔFHN cân tại F
b:
Xét ΔAMH có
AP vừa làđường cao, vừa là trung tuyến
=>ΔAMH cân tại A
=>AM=AH
Xét ΔAHN có AQ vừa là đường cao, vừa là trung tuyến
=>ΔAHN cân tại A
=>AH=AN=AM
Xét ΔAME và ΔAHE có
AM=AH
góc MAE=góc HAE
AE chung
=>ΔAME=ΔAHE
=>góc AME=góc AHE
Xé ΔAHF và ΔANF có
AH=AN
góc HAF=góc NAF
AF chung
=>ΔAHF=ΔANF
=>góc AHF=góc ANF
=>góc AHE=góc AHF
=>HA là phân giác của góc EHF
c)Xét \(\Delta\)vuông MHC và \(\Delta\)vuông QHB, ta có:
\(\widehat{MCH}=\widehat{QBH}\)( \(\Delta ABC\)cân tại A)
\(HC=HB\)(chứng minh câu a)
\(\Rightarrow\)\(\Delta\)vuông MHC = \(\Delta\)vuông QHB ( ch-gn)
\(\Rightarrow\widehat{MHC}=\widehat{QHB}\)mà \(\widehat{MHC}=\widehat{BHN}\left(dd\right)\Rightarrow\widehat{QHB}=\widehat{BHN}\)
Gọi K là trung điểm NQ
Xét tam giác KHQ và tam giác KHN, ta có:
HQ=HN( cùng bằng HM)
\(\widehat{QHK}=\widehat{KHN}\)(cmt)
\(HK\): cạnh chung
\(\Rightarrow\)tam giác KHQ = tam giác KHN (c.g.c)
\(\Rightarrow\)\(\widehat{K_1}=\widehat{K_2}=90^o\)và QK = KN \(\Rightarrow HB\)là trung trực của NQ hay là BC là trung trực của NQ.
a, xét tam giác AHC và tam giác AHC có: AH chung
AB = AC do tam giác ABC cân tại A (gt)
góc AHB = góc AHC = 90
=> tam giác AHC = tam giác AHC (ch-cgv)
b, tam giác AHC = tam giác AHC (câu a)
=> CH = BH (đn)
xét tma giác BHN và tam giác CHM có: góc MHC = góc NHB (đối đỉnh)
HN = HM (gt)
=> tam giác BHN = tam giác CHM (c-g-c)
=> góc BNH = góc HMC (đn) mà 2 góc này slt
=> BN // AC (đl)
Sửa đề: tam giác ABC nhọn
a: Ta có: E nằm trên đường trung trực của MH
=>EM=EH
=>ΔEMH cân tại E
Ta có: F nằm trên đường trung trực của HN
=>FN=FH
=>ΔFNH cân tại F
b: Ta có: AB là đường trung trực của HM
=>AB\(\perp\)HM và AM=AH
ΔAMH cân tại A
mà AB là đường cao
nên AB là phân giác của góc MAH
Xét ΔAEM và ΔAEH có
AE chung
\(\widehat{MAE}=\widehat{HAE}\)
AM=AH
Do đó: ΔAME=ΔAHE
=>\(\widehat{AHE}=\widehat{AME}=\widehat{AMN}\left(1\right)\)
Ta có: AC là đường trung trực của HN
=>AN=HA
=>ΔANH cân tại A
Ta có: ΔANH cân tại A
mà AC là đường cao
nên AC là phân giác của góc HAN
Xét ΔAHF và ΔANF có
AH=AN
\(\widehat{HAF}=\widehat{NAF}\)
AF chung
Do đó: ΔAHF=ΔANF
=>\(\widehat{AHF}=\widehat{ANF}=\widehat{ANM}\left(2\right)\)
Ta có: AH=AM
AH=AN
Do đó: AM=AN
=>ΔAMN cân tại A
=>\(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{AHE}=\widehat{AHF}\)
=>HA là phân giác của góc EHF