Question

[Nguyễn Ngân Hà]

tìm số nguyên a b c sao cho a^b+b^a=c

Answer 1

[Vũ Nguyễn Anh]

- Vì a, b, c là số nguyên tố nên a, b, c ∈N* và a, b, c ≥ 2

Nên, ta có : c ≥ 2² + 2² > 2  vì là số nguyên tố nên c phải là số lẻ :

Vậy, ta có : a^b + b^a  a, b là số lẻ nên tồn tại a^b hoặc b^a chẵn mà a, b là số nguyên tố nên a = 2 ∨à b = 2

Xét trường hợp 1, nên trường hợp còn lại tương tự :

b = 2 và a là số lẻ nên a = 2k + 1 ( k ∈ N* )

- Ta có : 2^a + a^2 = c

Nếu a = 3 thì c = 17 thỏa mãn.

Nếu a > 3 mà a  là số nguyên tố nên a không chia hết cho 3 nên : 

⇒ a^2 chia 3 dư 1.

- Ta lại có: 2^a =2^( k + 1 ) = 4^k×2 − 2 + 2 = ( 4^k − 1 ) × 2 + 2 = (3)nên chia 3 dư 2

Từ đó, 2^a+a^2 ⋮ 3 nên c ⋮ 3 nên :

⇒ c là hợp số, ( nên loại ).

Vậy  ( a ; b ; c ) = ( 2 ; 3 ; 17 ) ; ( 3 ; 2 ; 17 )