Cho \(x>0.\)Tìm GTNN của
\(G=\frac{n.x^{n+1}+1}{x^n}\)\(\left(n\in N\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 11 2019
\(A=\frac{x^2+\left(a+b\right)x+ab}{x}=x+\frac{ab}{x}+a+b\)
\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{\frac{ab.x}{x}}+a+b=2\sqrt{ab}+a+b\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=\sqrt{ab}\)
b/ \(x^2+x=y^2\)
- Với \(x=0\Rightarrow y=0\)
- Với \(x\ge1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+x>x^2\\x^2+x< x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2< y^2< \left(x+1\right)^2\Rightarrow\) không tồn tại y nguyên thỏa mãn
- Với \(x\le-1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+x=\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\ge\left(x+1\right)^2\\x^2+x< x^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2\le y^2< x^2\Rightarrow y^2=\left(x+1\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+x=\left(x+1\right)^2\Rightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1\Rightarrow y=0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 2 2020
\(A=\frac{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}{x^2y^2}=\frac{\left[\left(x+y\right)^2-x^2\right]\left[\left(x+y\right)^2-y^2\right]}{x^2y^2}\)
\(=\frac{y\left(2x+y\right).x\left(x+2y\right)}{x^2y^2}=\frac{2\left(x^2+y^2\right)+5xy}{xy}=2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\ge4\sqrt{\frac{xy}{xy}}+5=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 5 2020
\(2\sqrt{xy}+\sqrt{2x}+\sqrt{2y}\ge8\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{xy}\le x+y\\\sqrt{2x}+\sqrt{2y}\le2\sqrt{x+y}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x+y+2\sqrt{x+y}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+y}-2\right)\left(\sqrt{x+y}+4\right)\ge0\)
\(\Rightarrow x+y\ge4\)
\(P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge x+y+\frac{4}{x+y}\)
\(P\ge\frac{x+y}{4}+\frac{4}{x+y}+\frac{3\left(x+y\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{4\left(x+y\right)}{4\left(x+y\right)}}+\frac{3.4}{4}=5\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\)
10 tháng 3 2020
Đặt \(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{n\left(n+1\right)}=A\)
\(\Leftrightarrow A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\)
1 tháng 6 2019
em viết nhầm đề nha.M = \(\frac{y}{\sqrt{xy}-x}+\frac{x}{\sqrt{xy}+y}-\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\)mới đúng
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 4 2020
\(P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\)
Đặt \(\left(\sqrt{x}+1;\sqrt{y}+1\right)=\left(a;b\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a;b>1\\ab\ge4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\left(a-1\right)^2\\y=\left(b-1\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P\ge\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b-2\right)^2\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\left(2\sqrt{ab}-2\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(2\sqrt{4}-2\right)^2=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\) hay \(x=y=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 4 2020
Nó là Cauchy-Schwarz
Muốn đơn giản chỉ dùng Cô-si thì:
\(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}=\frac{x^2}{y}+y+\frac{y^2}{x}+x-\left(x+y\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2y}{y}}+2\sqrt{\frac{y^2x}{x}}-\left(x+y\right)=x+y\)