Question

[Vương Tiến Đạt]

Cho a,b,c>0.Chứng minh\(\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\)lớn hơn hoặc bằng 1

Answer 1

[Phạm Thành Đông]

\(A=\frac{a}{\sqrt{a+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\left(a,b,c>0\right)\).

\(A=\frac{a^2}{a\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b^2}{b\sqrt{b^2+8bc}}+\frac{c^2}{c\sqrt{c^2+8ca}}\).

Trước hết, ta chứng minh rằng:

\(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}+\frac{z^2}{p}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{m+n+p}\left(m,n,p>0;x,y,z\in R\right)\left(1\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{x}{m}=\frac{y}{n}=\frac{z}{p}\).

Áp dụng bất đẳng thức \(\left(1\right)\)với \(a,b,c>0\) , ta được:

\(\frac{a^2}{a\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b^2}{b\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c^2}{c\sqrt{c^2+8ab}}\ge\)\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ca}+c\sqrt{c^2+8ab}}\).

\(\Leftrightarrow A\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{a}.\sqrt{a^3+8abc}+\sqrt{b}.\sqrt{b^3+8abc}+\sqrt{c}.\sqrt{c^3+8abc}}\left(2\right)\).

Vì \(a,b,c>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho 3 số dương, ta được:

\(\left(\sqrt{a}.\sqrt{a^3+8abc}+\sqrt{b}.\sqrt{b^3+8abc}+\sqrt{c}.\sqrt{c^3+8abc}\right)^2\)\(\le\left[\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{c}\right)^2\right]\)\(\left[\left(\sqrt{a^3+8abc}\right)^2+\left(\sqrt{b^3+8abc}\right)^2+\left(\sqrt{c^3+8abc}\right)^2\right]\)\(=\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3+24abc\right)\left(3\right)\).

Do đó ta cần phải chứng minh: \(a^3+b^3+c^3+24abc\le\left(a+b+c\right)^3\forall a,b,c>0\).

Ta có: \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\left(4\right)\).

Chứng minh tương tự, ta được:

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\left(5\right)\).

Chứng minh tương tự, ta được:

\(c+a\ge2\sqrt{ca}\left(6\right)\).

Từ \(\left(4\right),\left(5\right),\left(6\right)\), ta được:

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\).

\(\Leftrightarrow3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge24abc\).

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\)\(a^3+b^3+c^3+24abc\).

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3\ge a^3+b^3+c^3+24abc\).

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)^4\ge\)\(\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3+24abc\right)\left(7\right)\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c>0\).

Từ \(\left(3\right)\)và \(\left(7\right)\), ta được:

\(\left(\sqrt{a}.\sqrt{a^3+8abc}+\sqrt{b}.\sqrt{b^3+8abc}+\sqrt{c}.\sqrt{c^3+8abc}\right)^2\)\(\le\left(a+b+c\right)^4\);.

\(\Leftrightarrow a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ca}+c\sqrt{c^2+8ab}\le\left(a+b+c\right)^2\).

\(\Rightarrow\frac{1}{a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ca}+c\sqrt{c^2+8ab}}\ge\frac{1}{\left(a+b+c\right)^2}\).

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ca}+c\sqrt{c^2+8ab}}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)\(\left(8\right)\).

Từ \(\left(2\right)\)và \(\left(8\right)\), ta được:

\(A\ge1\)(điều phải chứng minh).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c>0\).

Vậy \(\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\ge1\)với \(a,b,c>0\).

.