Với a>0.CMR:
\(\sqrt{a+1}\)-\(\sqrt{a}\)<\(\frac{1}{2\sqrt{a}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
SM
0
T
13 tháng 3 2019
Giải thử ạ,sai bỏ qua ạ:
gt ->\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
\(\sqrt{1+a^2}=\sqrt{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+a^2}=\sqrt{\frac{1}{4}}.\sqrt{4\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a^2}\right)}\)
\(\le\frac{4+\frac{4}{a^2}}{4}=1+\frac{1}{a^2}\)
Tương tự và cộng theo vế: \(VT\le2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-\sqrt{1+c^2}\)
Ta sẽ c/m: \(\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-\sqrt{1+c^2}\right)< -1\).Tới đây em bí -_-"
10 tháng 7 2019
\(3,\)Áp dụng bđt Mincopski \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)hai lần có
\(VT\ge\sqrt{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2}+\sqrt{z+xy}\)
\(\ge\sqrt{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2}\)
\(=\sqrt{x+y+z+2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)+\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2}\)
\(=\sqrt{1+2t+t^2}\left(t=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
\(=\sqrt{\left(t+1\right)^2}=t+1=VP\left(Đpcm\right)\)
10 tháng 7 2019
\(2,\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\frac{2\sqrt{ab}}{2\sqrt{\sqrt{a}.\sqrt{b}}}=\sqrt{\sqrt{ab}}\left(đpcm\right)\)
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
9 tháng 10 2018
a) \(M=\frac{a+1}{\sqrt{a}}+\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(a+\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}+\frac{a\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)+\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-a\sqrt{a}}\)
\(M=\frac{a+1}{\sqrt{a}}+\frac{a+\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}+\frac{\left(a\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-a\sqrt{a}}\)
\(M=\frac{2a+\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}}+\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)\left(1-\sqrt{a}\right)}\)
\(M=\frac{2a+\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}}+\frac{a-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}\)
\(M=\frac{3a+3}{\sqrt{a}}\)
Xét \(M-4=\frac{3a+3}{\sqrt{a}}-4=\frac{3a-4\sqrt{a}+3}{\sqrt{a}}=\frac{3\left(\sqrt{a}-\frac{2}{3}\right)^2+\frac{5}{3}}{\sqrt{a}}>0\forall x\in TXĐ\)
Vậy \(M>4.\)
b) \(N=\frac{6}{M}=\frac{6}{\frac{3a+3}{\sqrt{a}}}=\frac{2\sqrt{a}}{a+1}=\frac{2}{\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}}\)
Để N nguyên thì \(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\inƯ\left(2\right)=\left\{-2;-1;1;2\right\}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương, ta có \(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge2\Rightarrow\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}=2\)
\(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}=2\Leftrightarrow a=1\) (Vô lý)
Vậy không tồn tại giá trị của a để N nguyên.
13 tháng 10 2017
Chứng minh:
\(2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< \frac{1}{\sqrt{b}}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{b+1}-\sqrt{b}\right)< \frac{1}{\sqrt{b}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{\sqrt{b+1}+\sqrt{b}}< \frac{1}{\sqrt{b}}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{b}< \sqrt{b+1}+\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{b}< \sqrt{b+1}\)(đúng)
Cái còn lại tương tự