K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

đề sai cmnr

13 tháng 12 2018

Sai rồi chắc chắn luôn vì:

nếu a,b>0 thì a+b\(\ge\)2,

mà đề lại cho a+b=1.

Nên đề đúng có thể là: cho a,b\(\ne\)0 và a+b=1 tìm GTTĐ của ....(phần sau chắc đúng rồi)

8 tháng 8 2020

đây là 1 sự nhầm lẫn đối với các bạn nhác tìm dấu = :))

Sử dụng BĐT Svacxo ta có :

 \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)

\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{\left(1+\sqrt{18}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)

\(=\frac{19+\sqrt{72}}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{25\sqrt{2}}{1}=25\sqrt{2}\)

bài làm của e : 

Áp dụng BĐT Svacxo ta có :

\(Q\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)

Theo hệ quả của AM-GM thì : \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

\(< =>\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}}=21\)

Tiếp tục sử dụng Svacxo thì ta được : 

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+21=30\)

Vậy \(Min_P=30\)đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

8 tháng 8 2020

Và đương nhiên cách bạn dcv_new chỉ đúng với \(k\ge2\) ở bài:

https://olm.vn/hoi-dap/detail/259605114604.html

Thực ra bài Min \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\) khi a + b + c = 1

chỉ là hệ quả của bài \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{k}{ab+bc+ca}\) khi \(a+b+c\le1\)

Ngoài ra nếu \(k< 2\) thì min là: \(\left(1+\sqrt{2k}\right)^2\)

3 tháng 10 2019

Áp dụng BĐT AM - GM

\(A=\left(a+1\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)+\left(b+1\right)\left(1+\frac{1}{a}\right)\)

\(=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+2\)

\(=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\left(a+\frac{1}{2a}\right)+\left(b+\frac{1}{2b}\right)+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+2\)

\(\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+2\sqrt{a.\frac{1}{2a}}+2\sqrt{b.\frac{1}{2b}}+2\sqrt{\frac{1}{2a}.\frac{1}{2b}}+2\)

\(=4+2\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{ab}}\ge4+2\sqrt{2}+\frac{1}{\frac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{2}}\)

\(=4+3\sqrt{2}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

3 tháng 10 2019

Ta co:\(1=a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\Rightarrow a+b\le\sqrt{2}\)

Ta lai co:

\(A=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+a+b+2\)

\(=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{1}{a}+2a\right)+\left(\frac{1}{b}+2b\right)-\left(a+b\right)+2\)

\(\ge2+2\sqrt{2}+2\sqrt{2}-\sqrt{2}+2=4+3\sqrt{2}\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Vay \(A_{min}=4+3\sqrt{2}\)khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

27 tháng 12 2017

ta có A=\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}+\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}+\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}\)

mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}+...\)

Áp dụng bđt co si ta có , \(\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)

tương tự mấy cái kia rồi + vào thì A>=...

1 tháng 8 2019

\(\frac{a^3}{\left(1-a\right)^2}+\frac{1-a}{8}+\frac{1-a}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(1-a\right)^2}.\frac{\left(1-a\right)}{8}.\frac{1-a}{8}}=\frac{3a}{4}\)

Suy ra \(\frac{a^3}{1-a^2}\ge\frac{3a}{4}-\frac{\left(1-a\right)}{4}=\frac{4a-1}{4}\)

Tương tự hai BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(A\ge\frac{4\left(a+b+c\right)-3}{4}=\frac{1}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

7 tháng 12 2017

bài 1

ÁP dụng AM-GM ta có:

\(\frac{a^3}{b\left(2c+a\right)}+\frac{2c+a}{9}+\frac{b}{3}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3.\left(2c+a\right).b}{b\left(2c+a\right).27}}=a.\)

tương tự ta có:\(\frac{b^3}{c\left(2a+b\right)}+\frac{2a+b}{9}+\frac{c}{3}\ge b,\frac{c^3}{a\left(2b+c\right)}+\frac{2b+c}{9}+\frac{a}{3}\ge c\)

công tất cả lại ta có:

\(P+\frac{2a+b}{9}+\frac{2b+c}{9}+\frac{2c+a}{9}+\frac{a+b+c}{3}\ge a+b+c\)

\(P+\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\ge a+b+c\)

Thay \(a+b+c=3\)vào ta được":

\(P+2\ge3\Leftrightarrow P\ge1\)

Vậy Min là \(1\)

dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=c=1\)

22 tháng 9 2020

mình làm cách đơn giản nhất .

Sử dụng liên tiếp bđt Svacxo ta có :

\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\ge\frac{\left(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}=\frac{\left(a+b+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}\)

\(=\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{5^2}{2}=\frac{25}{2}\)Hay \(P\ge\frac{25}{2}\)Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

23 tháng 9 2020

cách khác !

 \(P=\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+2\frac{a}{b}+2\frac{b}{a}\)

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có : \(a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\ge a^2+b^2+2\sqrt{\frac{1}{a^2b^2}}+2\sqrt{\frac{2a2b}{ab}}\)

\(=a^2+b^2+\frac{2}{ab}+2\sqrt{4}=a^2+b^2+\frac{2}{ab}+4\)

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức : \(a^2+b^2+\frac{2}{ab}+4\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{2}{ab}+4=\frac{1}{2}+4+\frac{2}{ab}\)

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ sau : \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)Biến đổi tương đương ta có : 

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab< =>a^2+2ba+b^2\ge4ab< =>a^2-2ab+b^2\ge0< =>\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*

Sử dụng bất đẳng thức phụ trên ta được : \(\frac{9}{2}+\frac{2}{ab}\ge\frac{9}{2}+\frac{2}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{9}{2}+\frac{2}{\frac{1}{4}}=\frac{9}{2}+8=\frac{25}{2}\)

Hay : \(P\ge a^2+b^2+\frac{2}{ab}+4\ge\frac{1}{2}+4+\frac{2}{ab}\ge\frac{9}{2}+8=\frac{25}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

NV
23 tháng 6 2020

Bạn tham khảo:

Câu hỏi của khoimzx - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

NV
1 tháng 6 2020

\(1=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}\Rightarrow\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\ge3\Rightarrow a^2b^2c^2\ge27\)

\(A=1+a^2b^2c^2+a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)

\(A\ge1+27+3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+3\left(\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\right)^2\)

\(A\ge1+27+3.3+3.3^2=...\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=...\)

24 tháng 3 2019

Do a ; b > 0 , áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương , ta có :

\(A=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge2\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\)

\(\Rightarrow2\left[\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\right]\ge\left(a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}\right)^2\)

\(\Rightarrow2A\ge\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\)

Vì a ; b > 0 \(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Rightarrow2A\ge\left(1+\frac{4}{a+b}\right)^2=\left(1+4\right)^2=25\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{25}{2}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)