Các bạn giúp mình câu này nhé,mình cảm ơn nhiều ạ
Cho hai số dương x,y thoả mãn xy=1. Chứng minh: 1/x + 1/y + 2/(x+y) >=3
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Trước hết ta thấy rằng nếu có một trong hai số x,y chẵn thì xy chẵn còn 2x+2y+1 là lẻ, do đó 2x+2y+1 không thể chia hết cho xy.
Lời giải:Để $y$ nguyên thì $x^3+1\vdots x^4+1$
$\Leftrightarrow x^4+x\vdots x^4+1$
$\Leftrightarrow x^4+1+x-1\vdots x^4+1$
$\Leftrightarrow x-1\vdots x^4+1$
Nếu $x-1=0$ thì điều trên đúng. Kéo theo $y=1$
Nếu $x-1\neq 0$ thì $|x-1|\geq x^4+1(*)$
Cho $x>1$ thì $(*)\Leftrightarrow x-1\geq x^4+1$
$\Leftrightarrow x(1-x^3)-2\geq 0$ (vô lý với mọi $x>1$)
Cho $x< 1$ thì $(*)\Leftrightarrow 1-x\geq x^4+1$
$\Leftrightarrow x^4+x\leq 0$
$\Leftrightarrow x(x^3+1)\leq 0$
$\Leftrightarrow -1\leq x\leq 0$. Do $x$ nguyên nên $x=-1$ hoặc $x=0$
Với $x=-1$ thì $y=0$
Với $x=0$ thì $y=1$
Vậy..........
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có : \(1=\left(x.\sqrt{1-y^2}+y.\sqrt{1-x^2}\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1-y^2+1-x^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(2-x^2-y^2\right)\ge1\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)-2\left(x^2+y^2\right)+1\le0\Leftrightarrow\left(x^2+y^2-1\right)^2\le0\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2-1\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow x^2+y^2=1\)
Với y = 0 thi 1 - xy = 0 là bình phương của số hữu tỷ
Với y \(\ne0\)thì ta chia 2 vế cho y4 thì được
\(\frac{x^5}{y^4}+y=2\frac{x^2}{y^2}\)
\(\Leftrightarrow-y=\frac{x^5}{y^4}-2\frac{x^2}{y^2}\)
\(\Leftrightarrow-xy=\frac{x^6}{y^4}-2\frac{x^3}{y^2}\)
\(\Leftrightarrow\Leftrightarrow1-xy=\frac{x^6}{y^4}-2\frac{x^3}{y^2}+1=\left(\frac{x^3}{y^2}-1\right)^2\)
Vậy 1 - xy là bình phương của 1 số hữu tỷ
Lời giải:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}=\frac{x+y}{xy}+\frac{2}{x+y}$
$=x+y+\frac{2}{x+y}$
$=\frac{x+y}{2}+\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}$
$\geq \frac{x+y}{2}+2\sqrt{\frac{x+y}{2}.\frac{2}{x+y}}$ (áp dụng BDT Cô-si)
$\geq \frac{2\sqrt{xy}}{2}+2=\frac{2}{2}+2=3$
Vậy ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$