Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(x,y\) thì \(\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\) là số chính phương.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NN
27 tháng 3 2017
Ta có:
\(A=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)
\(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)
Đặt \(x^2+5xy+5y^2=t\left(t\in Z\right)\) thì:
\(A=\left(t-y^2\right)\left(t+y^2\right)+y^4\)
\(=t^2-y^4+y^4=t^2\)
\(=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)
Vì \(x,y,z\in Z\) nên:
\(x^2\in Z,5xy\in Z,5y^2\in Z\)
\(\Leftrightarrow x^2+5xy+5y^2\in Z\)
Vậy \(A\) là số chính phương (Đpcm)
BA
20 tháng 11 2019
ồ bài này khá dễ
Ta có
\(A=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)
\(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)
Đặt \(x^2+5xy+5y^2=t\left(t\in Z\right)\)
\(\)\(A=\left(t-y^2\right)\left(t+y^2\right)+y^4=t^2-y^4+y^4\)
\(=t^2=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)
Vì \(x,y,z\in Z\) nên \(\hept{\begin{cases}x^2\in Z\\5xy\in Z\\5y^2\in Z\end{cases}\Rightarrow x^2+5xy+y^2\in Z}\)
Vậy A là số chính phương
20 tháng 11 2019
\(A=\left[\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\right]\left[\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\right]+y^4.\)
\(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4.\)
\(=\left[\left(x^2+5xy+5y^2\right)-y^2\right]\left[\left(x^2+5xy+5y^2\right)+y^2\right]+y^4.\)
\(=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2-y^4+y^4\)
\(=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)
Đến đây ta có điều phải chứng minh rồi :>
AL
22 tháng 1 2017
ta có (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y^4
=(x+y)(x+4y)(x+2y)(x+3y)+y^4
=(x^2+5xy+4y^2)(x^2+5xy+6y^2)+y^4
đặt x^2+5xy=a
<=>A=a(a+2y^2)+y^4
=a^2+2.a.y^2+y^4
=(a+y^2)^2
là scp
27 tháng 9 2015
Ta có \(A=\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)+y^4=\left(x^2+5yx+4y^2\right)\left(x^2+5yx+6y^2\right)+y^4\)
\(=\left(t-y^2\right)\left(t+y^2\right)+y^4=t^2-y^4+y^4=t^2\) là số chính phương. Ở đây \(t=x^2+5yx+5y^2.\)
27 tháng 9 2015
à em hiểu rồi lây\(\left[\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\right]\left[\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\right]\) vì y+4y=2y+3ysau đó dùng đặt với \(t=x^2-5xy+\frac{4y^2+6y^2}{2}\)
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
6 tháng 11 2017
Ta đặt A = \(\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)
\(=\left[\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\right]+y^4\)
\(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)
Đặt \(x^2+5xy+4y^2=t\Rightarrow A=t\left(t+2y^2\right)+y^4\)
\(=t^2+2ty^2+y^4=\left(t+y^2\right)^2\)
Do x, y nguyên nên t nguyên, vậy thì t + y2 cũng nguyên. Suy ra A là số chính phương.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 4 2018
Lời giải:
\(A=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y^4\)
\(A=[(x+y)(x+4y)][(x+2y)(x+3y)]+y^4\)
\(A=(x^2+5xy+4y^2)(x^2+5xy+6y^2)+y^4\)
Đặt \(x^2+5xy+4y^2=a\). Khi đó:
\(A=a(a+2y^2)+y^4=a^2+2ay^2+(y^2)^2\)
hay \(A=(a+y^2)^2\) là một số chính phương.
Ta có đpcm.
HQ
9 tháng 4 2018
\(A=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)\(A=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)Đặt \(x^2+5xy+5y^2=t\left(t\in Z\right)\)
\(A=\left(t-y^2\right)\left(t+y^2\right)+y^4\)
\(\Rightarrow A=t^2-y^4+y^4\)
\(\Rightarrow A=t^2\)
\(\Rightarrow A=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)
Vì \(x;y;z\in Z\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\in Z\\5xy\in Z\\5y^2\in Z\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x^2+5xy+5y^2\in Z\)
\(\Rightarrow\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\) là số chính phương
Nên a là số chính phương ( đpcm )
9 tháng 8 2019
a. \(A=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)
Đặt \(t=x^2+5xy+5y^2\left(t\inℤ\right)\)
\(\Rightarrow A=\left(t-y^2\right)\left(t+y^2\right)+y^4=t^2=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)
Vậy giá trị của A là một số chính phương
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 2 2017
Giải:
Ta có \(N=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y^4\)
\(\Leftrightarrow N=(x^2+5xy+4y^2)(x^2+5xy+6y^2)+y^4\)
Đặt \(x^2+5xy+4y^2=a\)
\(\Rightarrow N=a(a+2y^2)+y^4=(a+y^2)^2\) là một số chính phương
Do đó ta có đpcm.
Ta có \(\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)
\(=\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)+y^4\)
\(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)
\(=\left(x^2+5xy+5y^2-y^2\right)\left(x^2+5xy+5y^2+y^2\right)+y^4\)
\(=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\) là số chính phương. \(\Rightarrowđpcm\)