Cho n là 1 số nguyên dương .CMR : [\(\sqrt{n^2-1}\)+\(\sqrt{n^2+1}\)] = 2n-1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 12 2021
\(f\left(n\right)=\dfrac{2n-1+2n+1+\sqrt{\left(2n+1\right)\left(2n+1\right)}}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}\\ f\left(n\right)=\dfrac{\left(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}\right)\left(2n-1+2n+1+\sqrt{\left(2n+1\right)\left(2n+1\right)}\right)}{2n+1-2n+1}\\ f\left(n\right)=\dfrac{\left(\sqrt{2n+1}\right)^3-\left(\sqrt{2n+1}\right)^3}{2}=\dfrac{\left(2n+1\right)\sqrt{2n+1}-\left(2n-1\right)\sqrt{2n+1}}{2}\)
\(\Leftrightarrow f\left(1\right)+f\left(2\right)+...+f\left(40\right)=\dfrac{3\sqrt{3}-1\sqrt{1}+5\sqrt{5}-3\sqrt{3}+...+81\sqrt{81}-79\sqrt{79}}{2}\\ =\dfrac{81\sqrt{81}-1\sqrt{1}}{2}=\dfrac{9^3-1}{2}=364\)
12 tháng 12 2017
\(\hept{\begin{cases}\frac{2}{2\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\\\frac{2}{2\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\end{cases}}\)
Từ đây ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{1}-\sqrt{0}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+...+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
\(=2\left(\sqrt{n}-0\right)=2\sqrt{n}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}>2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)
\(=2\left(\sqrt{n+1}-1\right)>\sqrt{n}\)
NN
12 tháng 12 2017
Gọi \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}=A\)là A
Có \(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{3}}>...>\frac{1}{\sqrt{n}}\)
=> \(A>n.\frac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}\)(1)
Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
Khi đó: \(\frac{1}{\sqrt{1}}< 2\left(\sqrt{1}-\sqrt{0}\right)\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}< 2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)\)
...
\(\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
=> \(A< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}+...+\sqrt{1}\right)\)
=> \(A< 2\sqrt{n}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\sqrt{n}< A< 2\sqrt{n}\)
11 tháng 11 2021
\(\sqrt{3}-\dfrac{m}{n}>0\Leftrightarrow\sqrt{3}>\dfrac{m}{n}\Leftrightarrow3n^2>m^2\)
Vì \(m,n\ge1\) nên \(3n^2\ge m^2+1\)
Với \(3n^2=m^2+1\Leftrightarrow m^2+1⋮3\Leftrightarrow m^2\) chia 3 dư 2 (vô lí)
\(\Leftrightarrow3n^2\ge m^2+2\)
Lại có \(4m^2>1\Leftrightarrow\left(m+\dfrac{1}{2m}\right)^2=m^2+1+\dfrac{1}{4m^2}< m^2+2\)
\(\Leftrightarrow\left(m+\dfrac{1}{2m}\right)^2< 3n^2\Leftrightarrow m+\dfrac{1}{2m}< n\sqrt{3}\\ \Leftrightarrow n\sqrt{3}-m>\dfrac{1}{2m}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 11 2018
Bạn ghi sai đề à? Số đầu tiên phải là \(\dfrac{1}{\sqrt{1}}\) chứ sao là \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\), mặc dù đề như vậy làm vẫn được nhưng chắc chẳng ai cho dãy quy luật kiểu đó
\(A=\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=2\left(\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\right)\)
\(\Rightarrow A>2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow A>2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\)
Ta chứng minh \(2\left(\sqrt{n+1}-1\right)>\sqrt{n}\Leftrightarrow2\sqrt{n+1}>\sqrt{n}+2\)
\(\Leftrightarrow4\left(n+1\right)>n+4+4\sqrt{n}\Leftrightarrow3n>4\sqrt{n}\Leftrightarrow\sqrt{n}>\dfrac{4}{3}\)
\(\Leftrightarrow n>\dfrac{16}{9}\) (đúng với mọi \(n\ge2\) )
Vậy \(A>\sqrt{n}\)
- Ta chứng minh tiếp \(A< 2\sqrt{n}\)
\(A=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=1+\dfrac{2}{2\sqrt{2}}+...+\dfrac{2}{2\sqrt{n}}\)
\(\Rightarrow A< 1+2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}\right)\)
\(\Rightarrow A< 1+2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
\(\Rightarrow A< 1+2\left(\sqrt{n}-1\right)=2\sqrt{n}-1< 2\sqrt{n}\) (đpcm)
Vậy: \(\sqrt{n}< \dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}\)
24 tháng 11 2018
Nguyễn Việt Lâmtran nguyen bao quanBạch Tuyên NghiNguyễn Thanh Hằng help me
Áp dụng hằng đẳng thức này : (a+b)2 = a2 +2ab+b2 , (a-b)2 = a2 -2ab+b2 và a2-b2=(a-b)(a+b)
Nếu chưa học có thể chứng minh bằng cách nhân bung vế trái rồi thu gọn là được
==========================================
Xét : \(\sqrt{n^2-1}\)+ \(\sqrt{n^2+1}\) , binh phương lên ta được
\(\left(\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2+1}\right)^2\)= \(\left(n^2-1\right)+2\sqrt{\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)}+\left(n^2+1\right)\)
= \(2n^2+2\sqrt{n^4-1}\)
-----------------
Xét với (2n-1)2 = 4n2 - 4n + 1
Để C. M vế trái = vế phải , ta chứng minh \(2\sqrt{n^4-1}=2n^2-4n+1\)
<=> \(\left(2\sqrt{n^4-1}\right)^2=\left(2n^2-4n+1\right)^2\)
sau đó khai triển ra .........nói chung cho nó = nhau sau đó kết luận điều cần c.m đúng
==============================================
tui chỉ góp ý z , lỡ cách làm này sai => chịu