Question

[Bùi Quang Vinh]

Bài 1:

Cho a,b là số nguyên tố >5,chứng minh rằng a⁴-b⁴:240

Answer 1

[Thanh Tùng DZ]

Ta có : a⁴ - b⁴ = ( a⁴ - 1 ) - ( b⁴ - 1 )

240 = 2 . 3 . 5 . 8

do đó : ta phải chứng minh : ( a⁴ - 1 ) \(⋮\)240 và ( b⁴ - 1 ) \(⋮\)240

Lại có : ( a⁴ - 1 ) = ( a - 1 ) ( a + 1 ) ( a² + 1 )

Vì a là số nguyên tố > 5 nên a là số lẻ

=> ( a - 1 ) ( a + 1 ) là tích 2 số chẵn liên tiếp nên \(⋮\)8 ( 1 )

do a > 5 nên : 

a = 3k + 1

=> a - 1 = 3k \(⋮\)3

a = 3k + 2                                    ( 2 )

=> a + 1 = 3k \(⋮\)3      

mặt khác vì a là số lẻ => a² là số lẻ

=> a² +1 là số chẵn

nên a² + 1 \(⋮\)2 ( 3 )

a có các dạng :

a = 5k + 1 => a - 1 \(⋮\)5 => a⁴ - 1 \(⋮\)5

a = 5k + 2 => a² + 1 \(⋮\)5 => a⁴ - 1 \(⋮\)5

a = 5k + 3 => a² + 1 \(⋮\)5 => a⁴ - 1 \(⋮\)5

a = 5k + 4 => a - 1 \(⋮\)5 => a⁴ - 1 \(⋮\)5

a = 5k mà p là số nguyên tố nên k = 1

=> a = 5 ( ko thỏa mãn )

=> a⁴ - 1 \(⋮\)5 ( 4 )

Từ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) và ( 4 ) => a⁴ - 1 \(⋮\)240

tương tự , ta cũng có b⁴ \(⋮\)240

Answer 2

[doremon]

bài này trong đề thi học sinh giỏi của em họ mình có nè