Question

[Thầy Cao Đô]

Cho tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BE$ và $CF$ cắt nhau tại $G$. Biết $BE=CF$.

Chứng minh $AG \perp BC$.

Answer 1

[Nguyễn Thị Hải]

Gọi $D$ là giao điểm của $AG$ và $BC\Rightarrow DB=DC$.

Ta có $BG=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}BE$; $CG=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}CF$ (tính chất trọng tâm).

Vì $BE=CF$ nên $BG=CG\Rightarrow △BCG$ cân tại $G$

$\Rightarrow \widehat{GCB}=\widehat{GBC}$

Xét $△BFC$ và $△CEB$ có $CF=BE$ (giả thiết);

$\widehat{GCB}=\widehat{GBC}$ (chứng minh trên);

$BC$ là cạnh chung.

Do đó $△BFC=△CEB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{FBC}=\widehat{ECB}$ (hai góc tưong ứng)

$\Rightarrow △ABC$ cân tại $A\Rightarrow AB=AC$.

Từ đó suy ra $△ABD=△ACD$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{ADC}$. (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180^{\circ }\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{ADC}=90^{\circ }\Rightarrow AD\perp BC$ hay $AG\perp BC$.

Answer 2

[Lê Hoàng Bảo Hân]

$a)$

$\text{Ta có : BE là đường trung tuyến cạnh AC}$

$\text{và : CF là đường trung tuyến cạnh AB}$

$\Rightarrow AB=AC\Rightarrow \Delta ABC\text{cân tại}A$

$\text{Nối AG}$

$\text{Xét ΔABC có BE và CF là 2 đường trung tuyến cắt nhau tại G}$

$\Rightarrow \text{G là trọng tâm ΔABC}$

$\text{và : AG là đường trung tuyến ứng với cạnh BC}$

$\text{ΔABC cân tại A nên đường trung tuyến AG cũng là đường cao => AG ⊥ BC}$