CMR\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>=2\) với a,b thuộc N*
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 10 2016
Vì \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)\(\Rightarrow\frac{a^n}{c^n}=\frac{b^n}{d^n}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:
\(\frac{a^n}{c^n}=\frac{b^n}{d^n}=\frac{a^n-b^n}{c^n-d^n}=\frac{a^n+b^n}{c^n+d^n}\left(đpcm\right)\)
4 tháng 5 2019
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}=\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{a+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-b^2}{a+b}+\frac{b^2-c^2}{b+c}+\frac{c^2-a^2}{a+c}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}{a+b}+\frac{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{\left(c-a\right)\left(c+a\right)}{a+c}=0\)
\(\Leftrightarrow a-b+b-c+c-a=0\)
\(\Leftrightarrow0=0\)( luôn đúng )
\(\Rightarrow\)\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}=\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{a+c}\)
NT
CHo a;b;c thuộc N* . CMR : P=\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\) không phải là số tự nhiên
1
26 tháng 10 2016
- CM: P > 1
\(P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)
\(P>\frac{a+b+c}{a+b+c}\)
\(P>1\left(1\right)\)
- CM: P < 2
Áp dụng \(\frac{a}{b}< 1\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\) (a;b;c \(\in\) N*), ta có:
\(P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}\)
\(P< \frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(P< 2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => 1 < P < 2
=> P không phải số tự nhiên (đpcm)
Có : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\) (1)
mà \(\left(a-b\right)^2>=0\)<=> \(a^2-2ab+b^2>=0\)<=> \(a^2+b^2>=2ab\)<=> \(\frac{a^2+b^2}{ab}>=2\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>=2\)
Vì a;b > 0 . Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2.1=2\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b