Question

[Đào Thị Hoàng Yến]

Cho tam giác ABC vuông cân tại A , M là trung điểm của BC . Lấy điểm D bất kỳ thuộc BC . H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD . Ta có tỉ số \(\frac{BC^2}{BH^2+CI^2}\) không đổi có giá trị bằng

Answer 1

[Trà My]

Tam giác vuông ABH=tam giác vuông CAI(ch-gn) do có:

AB=AC(tam giác ABC vuông cân tại A); góc ABH=góc CAI (cùng phụ với BAH)

=>AH=CI (cạnh tương ứng)

Mặt khác áp dụng định lý Py-ta-go ta được:

• Tam giác ABC có:  \(BC^2=AB^2+AC^2\) mà AB=AC => \(AB^2=AC^2=\frac{1}{2}BC^2\)
• Tam giác ABH có: \(BH^2=AB^2-AH^2\)=>\(BH^2=AB^2-CI^2\)
• Tam giác CAI có: \(AC^2=CI^2+AI^2\)=>\(CI^2+AI^2=\frac{1}{2}BC^2\)

Xét \(\frac{BC^2}{BH^2+CI^2}=\frac{BC^2}{AB^2-CI^2+AC^2-AI^2}=\frac{BC^2}{\left(AB^2+AC^2\right)-\left(CI^2+AI^2\right)}\)

\(\frac{BC^2}{BC^2-\frac{1}{2}BC^2}=\frac{BC^2}{\frac{1}{2}BC^2}=2\)