Cho A = \(\frac{x}{\left(x+2017\right)^2}\) với \(x>0\).Tìm GT lớn nhất của A
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 8 2016
1. Ta có : \(A=\frac{\left(x+4\right)\left(x+9\right)}{x}=\frac{x^2+13x+36}{x}=x+\frac{36}{x}+13\)
Áp dụng bđt Cauchy : \(x+\frac{36}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{36}{x}}=12\)
\(\Rightarrow A\ge25\)
Vậy Min A = 25 \(\Leftrightarrow\begin{cases}x>0\\x=\frac{36}{x}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=6\)
20 tháng 8 2016
2. \(B=\frac{\left(x+100\right)^2}{x}=\frac{x^2+200x+100^2}{x}=x+\frac{100^2}{x}+200\)
Áp dụng bđt Cauchy : \(x+\frac{100^2}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{100^2}{x}}=200\)
\(\Rightarrow B\ge400\)
Vậy Min B = 400 \(\Leftrightarrow\begin{cases}x>0\\x=\frac{100^2}{x}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=100\)
7 tháng 11 2018
\(a)\)\(x+xy+y=-6\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=-5\)
Lập bảng xét TH ra là xong
\(b)\) CM : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2-4xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)
Xin thêm 1 slot đi hok về làm cho -,-
7 tháng 11 2018
\(b)\) CM : \(x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{1+1}=\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\) ( bđt Cauchy-Schawarz dạng Engel )
Ta có :
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+2017\ge\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}+2017\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}+2017=\frac{\left(2+\frac{4}{2}\right)^2}{2}+2017=2025\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=1\)
Bài này còn có cách khác là sử dụng tính chất tổng 2 phân số nghịch đảo nhau nhá :))
Chúc bạn học tốt ~
1 tháng 9 2019
Xin phép được sủa đề một chút nhé :)
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=z=a\\x^2+y^2+z^2=b\\a^2=b+4034\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=a^2\\x^2+y^2+z^2=b\\a^2-b=4034\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-b=2\left(xy+yz+zx\right)\\a^2-b=4034\end{matrix}\right.\Leftrightarrow xy+yz+zx=2017\)
\(M=x\sqrt{\frac{\left(2017+y^2\right)\left(2017+z^2\right)}{2017+x^2}}+y\sqrt{\frac{\left(2017+x^2\right)\left(2017+z^2\right)}{2017+y^2}}+z\sqrt{\frac{\left(2017+y^2\right)\left(2017+x^2\right)}{2017+z^2}}\)
\(=x\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(z+x\right)\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}\)
\(=2\left(xy+yz+zx\right)=4034\)
15 tháng 7 2021
\(ĐKXĐ:x\ne1;x\ge0\)
\(a,P=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right).\left(\frac{1-2\sqrt{x}+x}{2}\right)\)
\(P=\frac{x\sqrt{x}+2x+\sqrt{x}-2x-4\sqrt{x}-2-x\sqrt{x}+\sqrt{x}-2x+2}{\left(x-1\right)\left(x+2\sqrt{x}+1\right)}.\frac{x-2\sqrt{x}+1}{2}\)
\(P=\frac{-2x-2\sqrt{x}}{\left(x-1\right)\left(x+2\sqrt{x}+1\right)}.\frac{\left(x-1\right)^2}{2}\)
\(P=\frac{-x-\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}.x-1\)
\(P=\frac{-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}.\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\)
\(P=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\)
b,dễ thấy \(\sqrt{x}+1>0\left(\forall x\right)\)
\(< =>\sqrt{x}-1>0\)
\(x>1\)
\(c,P=\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\)
\(P=\frac{-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}.\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\)
\(P=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(1-\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}+1}\)
\(P=\frac{\sqrt{x}-1-x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
\(P=\frac{-1+2\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}+1}\)
\(P=\frac{-\left(x+2\sqrt{x}+1\right)+3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
\(P=\frac{-\left(\sqrt{x}+1\right)^2+3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
\(P=-\left(\sqrt{x}+1\right)+\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
\(P=-\left(\sqrt{x}+1\right)+\frac{3\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}-\frac{3}{\sqrt{x}+1}\)
\(P=3-\left(\sqrt{x}+1+\frac{3}{\sqrt{x}+1}\right)\)
\(\sqrt{x}+1+\frac{3}{\sqrt{x}+1}\ge\sqrt{\sqrt{x}+1.\frac{3}{\sqrt{x}+1}}=\sqrt{3}\)
\(P\le3-\sqrt{3}\)dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt{x}+1=\frac{3}{\sqrt{x}+1}\)
\(\sqrt{x}+1=\sqrt{3}\)
\(\sqrt{x}=\sqrt{3}-1\)
\(x=3+1-2\sqrt{3}=4-2\sqrt{3}\)
\(< =>MAX:P=\sqrt{3}\)
15 tháng 7 2021
ĐK : \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\)
a) \(=\left[\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}-\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right]\cdot\frac{\left(x-1\right)^2}{2}\)
\(=\frac{x-\sqrt{x}-2-x-\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\cdot\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{2}\)
\(=-2\left(\sqrt{x}-1\right)\)
b) Để P > 0 thì \(-2\left(\sqrt{x}-1\right)>0\Leftrightarrow\sqrt{x}-1< 0\Leftrightarrow x< 1\)
Kết hợp với ĐK => Với 0 ≤ x < 1 thì P > 0
c) Ta có : \(P=-2\left(\sqrt{x}-1\right)=-2\sqrt{x}+2\le2\forall x\ge0\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = 0 (tm)
Vậy MaxP = 2
24 tháng 12 2021
a có:\(\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\forall x,y\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cô-si vào các số dương \(\frac{x^2}{y^2},\frac{y^2}{x^2}\)ta có:
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}.\frac{y^2}{x^2}}=2\left(2\right)\)
Áp dụng BĐT \(\left(1\right),\left(2\right)\)ta được:
\(A=3\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)-8\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge3.2-8.2=-10\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=y\)
Vậy \(A_{min}=-10\)khi \(x=y\)
Theo bài ra , ta có :
\(A=\frac{x}{\left(x+2017\right)^2}\left(x>0\right)\)
\(\Rightarrow A=\frac{x}{x^2+4034x+2017^2}\)
Vì x>0 nên ta chia cả tử và mẫu của biễu thức A cho x \(\left(x\ne0\right)\)
Suy ra \(\frac{1}{x+4032+\frac{2017^2}{x}}\)
Vì \(\left(x>0\right)\Rightarrow\frac{2017^2}{x}>0\)
Áp dụng BĐT Côsi với 2 số x>0 và \(\frac{2017^2}{x}>0\)
Ta có : \(x+\frac{2017^2}{x}\ge2\sqrt{x+\frac{2017^2}{x}}\)
\(\Rightarrow x+\frac{2017^2}{x}\ge2.2017\)
\(\Rightarrow x+\frac{2017^2}{x}\ge4034\)
\(\Rightarrow x+\frac{2017^2}{x}+4034\ge8068\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x+\frac{2016^2}{x}+4032}\le\frac{1}{8064}\Rightarrow A\le\frac{1}{8064}\)
\(\Rightarrow MaxA=\frac{1}{8064}\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{2017^2}{x}\)
\(\Leftrightarrow x^2=2017^2\)
Vì x > 0
\(\Rightarrow x=2017\)
Vậy MaxA = \(\frac{1}{8064}\)khi và chỉ khi x = 2017
Chúc bạn học tốt =))
Hỏi @ CTV
Nếu không có đk x>0
thì liệu A có GTLN không?