HELP ME !
Có hay ko các số a,b,c thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\)và a+b+c=abc
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
14 tháng 1 2020
Đặt \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\frac{2y'z'}{x'^2};\frac{2z'x'}{y'^2};\frac{2x'y'}{z'^2}\right)\) với x', y', z' > 0. Quy về chứng minh:
\(\Sigma_{cyc}\frac{x'^3}{\sqrt{x'^6+8y'^3z'^3}}\ge1\). Đặt \(\left(x'^3;y'^3;z'^3\right)=\left(x;y;z\right)\). Quy về:
\(\Sigma_{cyc}\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}\ge1\). Đến đây em thấy khá quen thuộc, hình như là bài IMO nào đó, để tối lục lại.
10 tháng 10 2016
Ta có
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge a\)
\(\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge b\)
\(\frac{c^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge c\)
Cộng vế theo vế ta được
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\)
Đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
7 tháng 4 2018
abc=a+b+c => 1 = 1/ab + 1/bc + 1/ac
2 = 1/a+1/b+1/c => 4 = 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 2/ab + 2/ac + 2/cb
=> 4 = 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 2(1/ab + 1/ac + 1/bc) = M + 2
=> M = 4 - 2 = 2
Mk làm bài đầu thôi,sáng nay mk làm cái tt cho
KT
7 tháng 4 2018
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}=4\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{c}{abc}+\frac{a}{abc}+\frac{b}{abc}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\frac{a+b+c}{abc}=4\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2=4\) (do a+b+c = abc)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=2\)
AK
13 tháng 1 2019
Ta có : \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=\frac{ab+bc+ac}{abc}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=ab+bc+ac\left(abc=1\right)\)
\(\Leftrightarrow1+a+b+c-ab-bc-ac-1=0\)
\(\Leftrightarrow abc+a+b+c-ab-bc-ac-1=0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(c-1\right)-a\left(c-1\right)-b\left(c-1\right)+c-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-a-b+1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)a = 1 hoặc b = 1 hoặc c = 1
=> Đpcm
9 tháng 7 2019
\(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)=> \(a+b+c=\frac{ab+bc+ac}{abc}=ab+bc+ac\)
Ta có \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=\left(abc-1\right)+a+b+c-ab-bc-ac=0\)
=> có ít nhất 1 trong 3 số a,b,c bằng 1
Vậy có ít nhất 1 trong 3 số a,b,c bằng 1
7 tháng 10 2015
Thay 1 = abc ta có: \(a+b+c=\frac{abc}{a}+\frac{abc}{b}+\frac{abc}{c}\)
<=> a + b + c = bc + ac + ab
<=> (a - ac) + (b - bc) + (c - ab) = 0
<=> a(1 - c) + b(1 - c) + (c - \(\frac{1}{c}\)) = 0
<=> ca(1 - c) + cb(1 - c) + (c - 1)(c + 1) = 0
<=> (1 - c)(ca + cb - c - 1) = 0
<=> (1 - c)[c(a -1) + (cb - abc)]= 0
<=> (1 - c)[c(a - 1) + cb(1 - a)]= 0
<=> (1 - c)(a - 1)(c - cb) = 0
<=> (1 - c)(a - 1)(1 - b).c = 0 <=> a = 1 hoặc b = 1 hoặc c = 1
Vậy....
Ta có: a + b + c = abc
\(\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Ta lại có
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2.\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2=\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=-\frac{3}{4}\)(vô lý)
Vậy không tồn tại a,b,c thỏa mãn bài toán