Chứng minh rằng nếu x - \(\dfrac{1}{x}\) là số nguyên và x≠ +-1 thì x và x + \(\dfrac{1}{x}\) là số vô tỉ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 5 2017
Giả sử x là số hữu tỷ thì ta có
\(x=\frac{m}{n}\left(\left(m,n\right)=1\right)\)
\(\Rightarrow x-\frac{1}{x}=\frac{m}{n}-\frac{n}{m}=\frac{m^2-n^2}{mn}\)
Vì \(x-\frac{1}{x}\)là số nguyên nên m2 - n2 \(⋮\)m
\(\Rightarrow\)n2 \(⋮\)m
Mà n,m nguyên tố cùng nhau nên
m = \(\pm\)1
Tương tự ta cũng có
n =\(\pm\)1
\(\Rightarrow\)x = \(\pm\)1
Trái giả thuyết.
Vậy x phải là số vô tỷ.
Ta có: \(2x-\left(x-\frac{1}{x}\right)=x+\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}\)là số vô tỷ.
Ta có: \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+4\)nên là số nguyên
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n}\)là số hữu tỷ.
Mà \(x+\frac{1}{x}\)là số vô tỷ nên
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n+1}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n}\)
là số vô tỷ
28 tháng 8 2017
a/ \(x=\sqrt{2}-1\)
b/ Giả sử x là số vô tỷ
\(x=\frac{m}{n}\left[\left(m,n\right)=1\right]\)
\(\Rightarrow x-\frac{1}{x}=\frac{m}{n}-\frac{n}{m}=\frac{m^2-n^2}{mn}\)
Vì \(x-\frac{1}{x}\)là số nguyên \(\Rightarrow m^2-n^2⋮m\)
\(\Rightarrow n^2⋮m\)
Mà m, n nguyên tố cùng nhau nên
\(\Rightarrow n=1;-1\)
Tương tự ta cũng có: \(m=1;-1\)
\(\Rightarrow x=1;-1\) trái giả thuyết
\(\Rightarrow x\)là số vô tỷ
Ta có:
\(2x-\left(x-\frac{1}{x}\right)=x+\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}\)là số vô tỷ
Ta có:
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+4\) là số nguyên
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n}\) là số hữu tỉ và \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n+1}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n}\)là số vô tỉ.
24 tháng 12 2023
Sửa đề:: \(A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
Thay x=16/9 vào A, ta được:
\(A=\dfrac{\sqrt{\dfrac{16}{9}}+1}{\sqrt{\dfrac{16}{9}}-1}=\dfrac{\dfrac{4}{3}+1}{\dfrac{4}{3}-1}=\dfrac{7}{3}:\dfrac{1}{3}=7\) là số nguyên
Thay x=25/9 vào A, ta được:
\(A=\dfrac{\sqrt{\dfrac{25}{9}}+1}{\sqrt{\dfrac{25}{9}}-1}=\dfrac{\dfrac{5}{3}+1}{\dfrac{5}{3}-1}=\dfrac{8}{3}:\dfrac{2}{3}=4\) là số nguyên
11 tháng 12 2021
1: Thay x=16 vào A, ta được:
\(A=\dfrac{6-2\cdot4}{4-5}=\dfrac{-2}{-1}=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 2
\(\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{x^2+\left(x+1\right)^2+x^2\left(x+1\right)^2}{x^2\left(x+1\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{x^2\left(x+1\right)^2+2x^2+2x+1}{x^2\left(x+1\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(x^2+x\right)^2+2\left(x^2+x\right)+1}{\left(x^2+x\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{\left(x^2+x+1\right)^2}{\left(x^2+x\right)^2}}=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+x}\)
\(=1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}\)
\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)...f\left(2020\right)=5^{1+1-\dfrac{1}{2}+1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+1+\dfrac{1}{2020}-\dfrac{1}{2021}}\)
\(=5^{2021-\dfrac{1}{2021}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{m}{n}=2021-\dfrac{1}{2021}=\dfrac{2021^2-1}{2021}\)
\(\Rightarrow m-n^2=2021^2-1-2021^2=-1\)
D
23 tháng 1 2022
Bài 2:
- Thay x=0 vào P(x) ta được:
P(0)=d => d là số lẻ.
- Thay x=1 vào P(x) ta được:
P(1)=a+b+c+d =>a+b+c+d là số lẻ mà d lẻ nên a+b+c là số chẵn.
- Gọi e là nghiệm của P(x), thay e vào P(x) ta được:
P(e)=ae3+be2+ce+d=0
=>ae3+be2+ce=-d
=>e(ae2+be+c)=-d
=>e=\(\dfrac{-d}{ae^2+be+c}\).
Ta thấy: -d là số lẻ, ae2+be+c là số chẵn nên -d không thể chia hết cho
ae2+be+c.
- Vậy P(x) không thể có nghiệm là số nguyên.
8 tháng 12 2021
a) A = \(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{4}{x+1}+\dfrac{8x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)
= \(\dfrac{x+1-4x+4+8x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{5x+5}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{5}{x-1}\) => đpcm
b) \(\left|x-2\right|=3=>\left[{}\begin{matrix}x-2=3< =>x=5\left(C\right)\\x-2=-3< =>x=-1\left(L\right)\end{matrix}\right.\)
Thay x = 5 vào A, ta có:
A = \(\dfrac{5}{5-1}=\dfrac{5}{4}\)
c) Để A nguyên <=> \(5⋮x-1\)
| x-1 | -5 | -1 | 1 | 5 |
| x | -4(C) | 0(C) | 2(C) | 6(C) |
(phương pháp phản chứng )
giả sử x + \(\dfrac{1}{x}\) ϵ Q ⇔ x + \(\dfrac{1}{x}\) = \(\dfrac{a}{b}\) (a,b ϵN, b#0)
⇔ x = \(\dfrac{a}{b}\) - \(\dfrac{1}{x}\)⇔ x - \(\dfrac{1}{x}\) = \(\dfrac{a}{b}\) - \(\dfrac{1}{x}\) - \(\dfrac{1}{x}\) ⇔ x - \(\dfrac{1}{x}\) = \(\dfrac{a}{b}\)- \(\dfrac{2}{x}\)
nếu x = 2 ta có x - \(\dfrac{1}{x}\) = 2 - \(\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{3}{4}\) (loại vì \(\dfrac{3}{4}\) không thuộc Z)
nếu \(\dfrac{a}{b}\)= \(\dfrac{2}{x}\) ⇔ x - \(\dfrac{1}{x}\) = 0 ⇔ x = +- 1 (loại) ⇔ \(\dfrac{a}{b}\) # \(\dfrac{2}{x}\)
vậy với x # +-1
⇔ x - \(\dfrac{1}{x}\)= \(\dfrac{a}{b}\) - \(\dfrac{2}{x}\) \(\notin\) Z ⇔ x + \(\dfrac{1}{x}\) \(\notin\) Q ⇔ x + \(\dfrac{1}{x}\) \(\in\) I (đpcm)