K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 7 2022

Lời giải:
ĐKXĐ: $2\leq x\leq 6$

Đặt $\sqrt{x-2}=a; \sqrt{6-x}=b(a,b\geq 0)$

$a^2+b^2=4$

PT ban đầu trở thành:
$a+b=\sqrt{12-a^2b^2}$

$\Rightarrow (a+b)^2=12-a^2b^2$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab=12-a^2b^2$

$\Leftrightarrow 4+2ab=12-a^2b^2$

$\Leftrightarrow a^2b^2+2ab-8=0$

$\Leftrightarrow (ab-2)(ab+4)=0$

Do $a,b\geq 0$ nên $ab\geq 0\Rightarrow ab=2$

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=4+2.2=8$

$\Rightarrow a+b=2\sqrt{2}$

Do $a+b=2\sqrt{2}; ab=2$ nên theo định lý Viet đảo thì:

$a,b$ là nghiệm của PT $X^2-2\sqrt{2}X+2=0$

$\Rightarrow \sqrt{x-2}=\sqrt{6-x}=\sqrt{2}$

$\Rightarrow x=4$ (tm)

28 tháng 6 2021

Lag tí -.-'

`ĐK:2<=x<=6`

BP 2 vế ta có:

`x-2+6-x+2\sqrt{(x-2)(6-x)}=x^2-8x+24`

`<=>4+2\sqrt{(x-2)(6-x)}=x^2-8x+24`

`<=>2\sqrt{(x-2)(6-x)}=x^2-8x+20`

`<=>2sqrt{-x^2+8x-12}=x^2-8x+20`

`<=>-x^2+8x-20+2sqrt{-x^2+8x-12}=0`

`<=>-x^2+8x-12+2sqrt{-x^2+8x-12}-8=0`

Đặt `sqrt{-x^2+8x-12}=a(a>=0)`

`pt<=>a^2+2a-8=0`

`<=>a=2(tm),a=-4(l)`

`<=>-x^2+8x-12=4`

`<=>x^2-8x+16=0`

`<=>(x-4)^2=0<=>x=4(tmđk)`

Vậy `S={4}`

Học giỏi vậy bạn? $x^2-8x+24=(x-2).(x-6)$ ?? Well =)))

13 tháng 9 2023

\(\sqrt{x-2}+\sqrt{6-x}\text{=}\sqrt{x^2-8x+24}\)

\(ĐKXĐ:2\le x\le6\)

Xét VP của pt ta thấy : \(\sqrt{x^2-8x+24}\text{=}\sqrt{x^2-8x+16+8}\)

\(\text{=}\sqrt{\left(x-4\right)^2+8}\)

\(\Rightarrow VP\ge\sqrt{8}\)

Xét VT của pt ta có :

\(VT^2\text{=}x-2+6-x+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}\)

\(VT^2\text{=}4+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}\)

Áp dụng BĐT cô si cho 2 số không âm ta có :

\(2\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}\le\left(\sqrt{x-2}\right)^2+\left(\sqrt{6-x}\right)^2\)

\(\text{=}x-2+6-x\text{=}4\)

\(\Rightarrow VT^2\le8\)

\(\Rightarrow VT\le\sqrt{8}\)

Để \(VT\text{=}VP\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-4\text{=}0\\\sqrt{x-2}\text{=}\sqrt{6-x}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=4\left(TM\right)\)

Vậy...........

10 tháng 8 2019

ĐKXĐ: \(2\le x\le6\)

\(\sqrt{x-2}+\sqrt{6-x}=\sqrt{x^2-8x+24}\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{6-x}\right)^2=\left(\sqrt{x^2-8x+24}\right)^2\\ \Leftrightarrow x-2+6-x+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}=x^2-8x+24\\ \Leftrightarrow4+2\sqrt{-x^2+8x-12}=x^2-8x+24\\ \Leftrightarrow-x^2+8x-20+2\sqrt{-x^2+8x-12}=0\left(1\right)\)

Đặt \(\sqrt{-x^2+8x-12}=a\left(a\ge0\right)\), ta có:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow a^2+2a-8=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2\left(tm\right)\\a=-4\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\sqrt{-x^2+8x-12}=2\Leftrightarrow-x^2+8x-12=4\\ \Leftrightarrow-x^2+8x-16=0\\ \Leftrightarrow x^2-8x+16=0\\ \Leftrightarrow\left(x-4\right)^2=0\\ \Leftrightarrow x=4\left(tm\right)\)

Vậy....

P.s: Có gì sai mong mọi người góp ý!

#Lemon

10 tháng 8 2019

ĐK:....

\(pt\Leftrightarrow x-2+6-x+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}=x^2-8x+24\)

\(\Leftrightarrow4+2\sqrt{-x^2+8x-12}=x^2-8x+24\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{-x^2+8x-12}=x^2-8x+20\)

Đặt \(x^2-8x=a\)

\(pt\Leftrightarrow2\sqrt{-a-12}=a+20\)

\(\Leftrightarrow4\left(-a-12\right)=\left(a+20\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+40a+400+4a+48=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+44a+448=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+16\right)\left(a+28\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-16\\a=-28\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-8x+16=0\\x^2-8x+28=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(x-4\right)^2=0\\\left(x-4\right)^2+12=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=\varnothing\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=4\)

3 tháng 10 2017

Áp dụng bđt Bunhia,ta có VT^2<=2(x-2+6-x)=8

suy ra VT<=\(2\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x-2}=\sqrt{6-x}\) <=> x-2=6-x <=>x=4

Mặc khác \(\sqrt{x^2-8x+24}=\sqrt{\left(x-4\right)^2+8}>=2\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x-4\right)^2\)=0 <=> x=4

Vậy pt đã cho có 1 nghiệm duy nhất là x=4

NV
18 tháng 9 2019

ĐKXĐ: \(2\le x\le7\)

Áp dụng BĐT Bunhia cho vế trái:

\(\sqrt{x-2}+\sqrt{6-x}\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(x-2+6-x\right)}=\sqrt{8}\)

\(\Rightarrow VT\le\sqrt{8}\)

\(VP=\sqrt{x^2-8x+16+8}=\sqrt{\left(x-4\right)^2+8}\ge\sqrt{8}\)

\(\Rightarrow VP\ge VT\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-4=0\\x-2=6-x\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=4\)

25 tháng 8 2020

đề bài đúng không z? theo tôi đề là \(\sqrt{x+2}+\sqrt{6-x}=\sqrt{x^2-8x+24}\)?!

26 tháng 8 2020

ĐKXĐ:...

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{6-x}\right)^2\le2\left(x+2+6-x\right)=16\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+2}+\sqrt{6-x}\le4\)

Lại có \(x^2-8x+24=\left(x-4\right)^2+8\ge8\forall x\)

Vậy pt vô nghiệm.

3 tháng 9 2015

Điều kiện: \(2\le x\le6\)

Bình phương cả 2 vế ta được: 

\(x-2+6-x+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}=x^2-8x+24\)

<=> \(4+2\sqrt{-x^2+8x-12}=x^2-8x+24\) (*)

Đặt \(t=\sqrt{-x^2+8x-12}\left(t\ge0\right)\) => \(t^2=-x^2+8x-12=-\left(x^2-8x+24\right)+12\)

Phương trình (*) trở thành: 4 + 2t = 12 - t2

<=> t2 + 2t - 8 = 0

<=> (t +4).(t - 2) = 0 <=> t = 2 hoặc t = -4

t = 2 thỏa mãn

=> -x+ 8x - 12 = 4

<=> -x2 + 8x - 16 = 0 <=> -(x - 4)= 0 <=> x = 4 (thỏa mãn)

Vậy x = 4 là  nghiệm của pt