cho a+b+c+d= 20 va ab+ac+ad+bc+bd+cd= 150. Tim a,b,c,d
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 5 2015
A B C D O a b c d
+) Dễ có tam giác OAB đồng dạng với tam giác ODC (góc AOB = DOC do đối đỉnh; góc BAC = BDC do góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
=> \(\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}=\frac{AB}{DC}=\frac{a}{c}\)
+) Tương tự, tam giác OAD đồng dạng với tam giác OBC (g - g)
=> \(\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{b}{d}\)
+) Ta có: \(\frac{OB}{OC}+\frac{OD}{OC}=\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{ad+bc}{cd}\)=> \(\frac{OB+OD}{OC}=\frac{BD}{OC}=\frac{ad+bc}{cd}\Rightarrow\frac{OC}{BD}=\frac{cd}{ad+bc}\) (1)
+) ta có: \(\frac{OA}{OD}=\frac{a}{c};\frac{OA}{OB}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{OD}{OA}=\frac{c}{a};\frac{OB}{OA}=\frac{d}{b}\)
=> \(\frac{OD}{OA}+\frac{OB}{OA}=\frac{BD}{OA}=\frac{c}{a}+\frac{d}{b}=\frac{bc+ad}{ab}\Rightarrow\frac{OA}{BD}=\frac{ab}{bc+ad}\)(2)
Từ (1)(2) => \(\frac{OC}{BD}+\frac{OA}{BD}=\frac{cd+ab}{ad+bc}\Rightarrow\frac{AC}{BD}=\frac{ab+cd}{ad+bc}\)
Vì a+b+c+d = 20
=> \(\left(a+b+c+d\right)^2=400\)
<=> \(\left(a+b\right)^2+\left(c+d\right)^2+2\left(a+b\right)\left(c+d\right)=400\)
<=> \(a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd=400\)
<=> \(a^2+b^2+c^2+d^2+2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)=400\)
<=> \(a^2+b^2+c^2+d^2+2.150=400\)
<=> \(a^2+b^2+c^2+d^2=100\)
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\) (đúng với mọi a, b thuộc R)
<=> \(a^2+b^2\ge2ab\)
<=> \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\) (đúng với mọi a, b thuộc R)
Dấu = xảy ra <=> a - b = 0 <=> a = b
Áp dụng BĐT trên ta có:
\(ab+ac+ad+bc+bd+cd\le\dfrac{a^2+b^2}{2}+\dfrac{a^2+c^2}{2}+\dfrac{a^2+d^2}{2}+\dfrac{b^2+c^2}{2}+\dfrac{b^2+d^2}{2}+\dfrac{c^2+d^2}{2}\)
\(=\dfrac{3a^2+3b^2+3c^2+3d^2}{2}\)
\(=\dfrac{3.100}{2}\)
\(=150\)
Vậy ta có \(ab+ac+ad+bc+bd+cd\le150\) (với mọi a, b, c, d thuộc R)
ab + ac + ad + bc + bd + cd = 150 <=> Dấu "=" xảy ra
<=> a = b = c = d = \(\dfrac{20}{4}\)= 5
Vậy a = b = c = d = 5