Cho x>0, y>0 và x + y = 2
Chứng minh rằng \(x^2y^2\left(x^2+y^2\right)\le2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
QL
2
10 tháng 5 2019
Áp dụng côsi cho 3 số ta có
\(2xy+2xy+\left(x^2+y^2\right)\ge3\sqrt[3]{4x^2y^2\left(x^2+y^2\right)}\)
=> \(4+2xy\ge3\sqrt[3]{4x^2y^2\left(x^2+y^2\right)}\)
Mà \(2xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=2\)
=> \(3\sqrt[3]{4x^2y^2\left(x^2+y^2\right)}\le6\)
=> \(x^2y^2\left(x^2+y^2\right)\le2\)( Điều phải chứng minh)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=1
10 tháng 5 2019
Cách khác nè
\(x^2y^2\left(x^2+y^2\right)=\frac{1}{2}xy.\left(x^2+y^2\right)2xy\le\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y\right)^2}{4}.\frac{\left(x+y\right)^4}{4}=\frac{1}{2}.\frac{4}{4}.\frac{16}{4}=2\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=2\end{cases}\Leftrightarrow x=y=1}\)
:))
PA
0
PA
0
O
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 6 2020
\(P=x^2y^2\left(x^2+y^2\right)=\frac{1}{2}xy.2xy\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y\right)^2}{4}.\frac{1}{4}\left(2xy+x^2+y^2\right)^2=\frac{1}{32}\left(x+y\right)^6=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
9 tháng 2 2020
Ta có: \(2xy\left(x^2+y^2\right)\le\frac{\left(x+y\right)^4}{4}=\frac{16}{4}=4\)
\(\Rightarrow xy\left(x^2+y^2\right)\le2\left(1\right)\)
Lại có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=1\left(2\right)\)
Nhân từng vế (1) và (2)=> đpcm
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
9 tháng 2 2020
sao \(2xy\left(x^2+y^2\right)\le\frac{\left(x+y\right)^4}{4}\) vậy ???
PN
8 tháng 2 2021
dùng bđt phụ \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\) với bđt Cô-si nhé
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$2=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq 1$
$x^2y^2(x^2+y^2)\leq xy(x^2+y^2)=\frac{1}{2}.2xy(x^2+y^2)$
$\leq \frac{1}{2}(\frac{2xy+x^2+y^2}{2})^2$=\frac{1}{8}(x+y)^4=\frac{1}{8}.16=2$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$