Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét 2 tam giác vuông HNB và HNP có :
HB =HP(gt)
HN chung
Suy ra: \(\Delta HNB=\Delta HNP\left(canhgocvuong-canhgocvuong\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{PNA}=\widehat{BNA}\)
Xét 2 tam giác vuông AHP và AHB có
HB =HP(gt)
HA chung
Suy ra: \(\Delta HAB=\Delta HAP\left(canhgocvuong-canhgocvuong\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{PAN}=\widehat{BAN}\)
Xét \(\Delta ANP\)và \(\Delta ANB\)có
AN chung
\(\widehat{PAN}=\widehat{BAN}\)
\(\widehat{PNA}=\widehat{BNA}\)
Suy ra: \(\Delta ANP\)= \(\Delta ANB\)(g.c.g)
\(\Rightarrow\widehat{APN}=\widehat{ABN}=90^0\)
Ta có : \(\widehat{BAD}=\widehat{NAD}+\widehat{BAN}\Rightarrow\widehat{BAN}=\widehat{BAD}-\widehat{NAD}=90^0-65^0=25^0\)
\(\Rightarrow\widehat{NAP}=\widehat{BAN}=25^0\Rightarrow\widehat{BAP}=25^0+25^0=50^0\)
\(\Rightarrow\widehat{MAP}=\widehat{BAD}-\widehat{MAD}-\widehat{BAP}=90^0-50^0-20^0=20^0\Rightarrow\widehat{MAP}=\widehat{MAD}\)
Vì AB=AD,AB=AP
\(\Rightarrow\)AP =AD
Xét \(\Delta MAD\)và \(\Delta MAP\)có
\(\widehat{MAP}=\widehat{MAD}\)
AM chung
AD = AB
Suy ra \(\Delta MAD\)=\(\Delta MAP\)(c.g.c)
\(\Rightarrow\widehat{AMD}=\widehat{APM}=90^0\Rightarrow\widehat{APN}+\widehat{APM}=180^0\Rightarrowđpcm\)
a. Từ giả thiết ta suy ra AN là đường trung trực của BP.
Xét \(\Delta APN\) và \(\Delta ABN\) có:
AB = AP; AN chung; NP = NB. Vậy thì \(\Delta APN=\Delta ABN\left(c-c-c\right)\Rightarrow\widehat{APN}=\widehat{ABN}=90^o\left(1\right).\)
Lại có \(\widehat{BAN}=\widehat{PAN}=25^o\Rightarrow\widehat{MAP}=90^o-20^o-25^o-25^o=20^o=\widehat{DAM}\)
Và \(AD=AP\left(=AB\right)\). Vậy nên \(\Delta ADM=\Delta APM\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{APM}=\widehat{ADM}=90^o\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta suy ta M, P, N thẳng hàng.
b. Ta thấy ngay \(\widehat{MAN}=\widehat{MAP}+\widehat{NAP}=20^o+25^o=45^o.\)
\(\widehat{AMP}=90^o-20^o=70^o;\widehat{ANP}=90^o-25^o=65^o.\)
a. Ta có AD là phân giác góc BAC; AD cũng là phân giác góc MAN nên \(\widehat{BAM}=\widehat{CAN.}\)
Vậy thì \(\widehat{PAN}=\widehat{FAM}\) (Vì cùng bằng \(\widehat{BAC}-\widehat{NAC}=\widehat{BAC}-\widehat{MAB}\) )
Từ đó suy ra \(\Delta PAN\sim\Delta FAM\left(g-g\right)\Rightarrow\widehat{PNA}=\widehat{FMA}\left(1\right)\)
Ta thấy \(\widehat{APN}=\widehat{AQN}=90^o\Rightarrow\)P, A,Q, N cùng thuộc một đường tròn. Vậy \(\widehat{PNA}=\widehat{PQA}\left(2\right)\)
Tương tự \(\widehat{FMA}=\widehat{FEA}\left(3\right)\)
Từ (1); (2); (3) suy ra \(\widehat{PQF}=\widehat{PEF}\) hay tứ giác PEQF là tứ giác nội tiếp. Vậy P, E, Q, F cùng thuộc một đường tròn.
b. Gọi I, J là hình chiếu của D trên AB và AC. Khi đó ta thấy ngay DI = DJ.
Ta có: \(\frac{NC}{DC}=\frac{NQ}{DJ};\frac{BM}{BD}=\frac{EM}{DI}\Rightarrow\frac{NC}{CD}.\frac{BD}{BM}=\frac{NQ}{EM}\Rightarrow\frac{CN}{BM}.\frac{BD}{CD}=\frac{NQ}{EM}\)
\(\Rightarrow\frac{CN}{BM}.\frac{AB}{AC}=\frac{NQ}{EM}\)
\(\frac{BD}{BN}=\frac{DI}{NP};\frac{CD}{CM}=\frac{DJ}{MF}\Rightarrow\frac{CM}{BN}.\frac{AB}{AC}=\frac{MF}{NP}\)
\(\Rightarrow\frac{AB^2.CM.CN}{AC^2.BM.BN}=\frac{NQ}{EM}.\frac{MF}{NP}\)
Lại có \(\Delta PNQ\sim\Delta FME\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{NQ}{ME}=\frac{PN}{MF}\Rightarrow\frac{NQ}{ME}.\frac{MF}{PN}=1\)
\(\Rightarrow\frac{AB^2.CM.CN}{AC^2.BM.BN}=1\Rightarrow\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BM.BN}{CM.CN}.\)