cho 1< a < b+c < a+1 ; b<c. CMR: a < b
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 2 2017
Bài 1
Đặt \(A=a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1)\)
Biến đổi:
\(A=a^3+b^3+c^3-3[abc-(ab+bc+ac)+a+b+c-1]=a^3+b^3+c^3-3abc+3(ab+bc+ac)-6\)
\(A=(a+b+c)^3-3[(a+b)(b+c)(c+a)+abc]-6+3(ab+bc+ac)\)
\(A=21-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3(ab+bc+ac)=21-6(ab+bc+ac)\)
Áp dụng BĐT Am-Gm:
\(3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2=9\Rightarrow ab+bc+ac\leq 3\)
\(\Rightarrow A\geq 21-6.3=3\). Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Vì \(0\leq a,b,c\leq2\Rightarrow (a-2)(b-2)(c-2)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow abc-2(ab+bc+ac)+4\leq 0\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 4+abc\geq 0\Rightarrow ab+bc+ac\geq 2\)
\(\Rightarrow A\leq 21-6.2=9\). Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2)$ và các hoán vị.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 2 2017
Bài 2a)
Ta có
\(A=a^2+b^2+c^2=(a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2-3-2(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow A=(a+b+c+3)^2-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]-3\)
\(\Leftrightarrow A=6-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]\)
Vì \(-1\leq a,b,c\leq 2\Rightarrow a+1,b+1,c+1\geq 0\)
\(\Rightarrow (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)\geq 0\Rightarrow A\leq 6\)
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(-1,-1,2)\) và các hoán vị của nó
NT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 6 2020
\(0< a< 1\Rightarrow a-1< 0\Rightarrow a\left(a-1\right)< 0\Rightarrow a^2< a\)
Tương tự: \(b\left(b-1\right)< 0\Rightarrow b^2< b\) ; \(c\left(c-1\right)< 0\Rightarrow c^2< c\)
Cộng vế với vế:
\(a^2+b^2+c^2< a+b+c\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\) (đpcm)
KN
1
8 tháng 5 2015
a2 + b2 + c2 < 2
<=> a2 + b2 + c2 < a+ b + c
<=> (a2 - a )+ (b2 - b )+ (c2 - c) < 0
<=> a.(a - 1) + b.(b -1) + c.(c -1) < 0 (*)
Điều này luôn đúng với mọi 0<a<1; 0<b<1; 0<c<1 vì 0<a<1 => a- 1 < 0 => a.(a-1) < 0
tương tự b(b - 1) < 0; c(c -1) < 0
Vậy (*) => đpcm
19 tháng 10 2016
giả /sử: b>a=> c<1 (vì b+c<a+1)
=> b<c<1=> a<1 mẫu thuẫn gia thiết a>1=> dpcm
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 5 2018
Lời giải:
Vì \(1< a\Rightarrow a+1< 2a(1)\)
\(b< c\Rightarrow 2b< b+c(2)\)
Mà \(b+c< a+1\) do đó kết hợp với \((1);(2)\) suy ra:
\(2b< b+c< a+1< 2a\)
\(\Rightarrow b< a\)
Ta có đpcm.
CT
12 tháng 5 2018
Ta có 1<a
=> a+1<2a
Ta có b<c
=> 2b<b+c
Mà b+c<a+1 ( theo gt cho )
Mà a+1<2a ; 2b<b+c
=> 2b<2a
=> b<a
=> dpcm
KN
4 tháng 3 2020
Ta có: \(b< c\Rightarrow b-c< 0\)
Kết hợp với \(b+c< a+\)
\(\Rightarrow\left(b-c\right)+\left(b+c\right)< 0+\left(a+1\right)\)
\(\Rightarrow2b< a+1\)
Lại có: \(1< a\Rightarrow a+1< 2a\)
Suy ra \(2b< a+1< 2a\Rightarrow2b< 2a\)
\(\Rightarrow b< a\)(đpcm)
H
0