chứng minh a^5-a chia hết cho 30
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 1 2016
Có a2 - 1 = (a+1)(a-1)
Xét tích (a-1)a(a+1) chia hết cho 3
Do a là số ng tố > 3 nên a không chia hết cho 3
=> (a-1)(a+1) chia hết cho 3 (1)
Có a là số lẻ, đặt a = 2k + 1
Do vậy a2 - 1 = 4k(k+1)
Có k(k+1) luôn chia hết cho 2 => ak(k+1) chia hết cho 8 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a2 - 1 chia hết cho 24 ( vì (3;8) =1 )
TM
30 tháng 1 2017
Đề bài phải có điều kiện a là số nguyên hay số tự nhiên...gì đó chứ bạn!?
\(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
Dễ thấy \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp
=>\(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\) chia hết cho 2 và 3
<=> \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\) chia hết cho 2 và 3 (1)
Xét các trường hợp:
+) a=5k => \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)=\left(5k-1\right)5k\left(5k+1\right)\left[\left(5k\right)^2+1\right]⋮5\) (\(k\in Z\))
+) a=5k+1 => (a-1)a(a+1)(a2+1)=(5k+1-1)(5k+1)(5k+1+1)[(5k+1)2+1]=5k(5k+1)(5k+2)[(5k+1)2+1]\(⋮5\)
+) a=5k+2 => (a-1)a(a+1)(a2+1)=(5k+2-1)(5k+2)(5k+2+1)[(5k+2)2+1]=(5k+1)(5k+2)(5k+3)(25k2+20k+5)\(⋮5\)
+) a=5k+3 => (a-1)a(a+1)(a2+1)=(5k+3-1)(5k+3)(5k+3+1)[(5k+3)2+1]=(5k+2)(5k+3)(5k+4)(25k2+30k+10)\(⋮5\)
+) a=5k+4 => (a-1)a(a+1)(a2+1)=(5k+4-1)(5k+4)(5k+4+1)[(5k+4)2+1]=(5k+3)(5k+4)(5k+5)[(5k+4)2+1]\(⋮5\)
=>\(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\) chia hết cho 5 (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
PD
1
DX
19 tháng 7 2023
Ta có:\(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)
Vì (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 5. Mà 3 số này đôi một nguyên tố cùng nhau nên (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) chia hết cho 2.3.5=30 (*)
Vì (a-1)a(a+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3. Mà (2;3)=1 nên 5(a-1)a(a+1) chia hết cho 2.3.5=30 (**)
Từ (*)và(**) => \(a^5-5\) chia hết cho 30(đpcm)
DP
1
19 tháng 11 2017
Ta có: (a^5-a)= a(a^4-1)
= a(a^2-1)(a^2+1)
= a(a-1)(a+1)(a^2+1)
= a(a-1)(a+1)(a^2-4+5)
= a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) + 5a(a-1)(a+1)
Do a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) là tích 5 số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 2,3,5 => chia hết cho 2.3.5=30
5a(a-1)(a+1) chia hết cho 2,3,5 => chia hết cho 2.3.5=30
=> a^5-a chia hết cho 30
=> (a^5-a)+(b^5-b)+(c^5-c) chia hết cho 30
Mà a+b+c chia hết cho 30
=> a^5+b^5+c^5 chia hết cho 30
DV
6
H9
HT.Phong (9A5)
CTVHS
9 tháng 8 2023
\(A=5+5^2+...+5^{30}\)
\(A=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+...+\left(5^{29}+5^{30}\right)\)
\(A=\left(5+25\right)+5\cdot\left(5+25\right)+...+5^{28}\cdot\left(5+25\right)\)
\(A=30+5\cdot30+...+5^{28}\cdot30\)
\(A=30\cdot\left(1+5+...+5^{28}\right)\)
Vậy A chia hết cho 30
H9
HT.Phong (9A5)
CTVHS
9 tháng 8 2023
\(A=5+5^2+....+5^{30}\)
\(A=\left(5+5^2+5^3\right)+\left(5^4+5^5+5^6\right)+...+\left(5^{28}+5^{29}+5^{30}\right)\)
\(A=5\cdot\left(1+5+25\right)+5^4\cdot\left(1+5+25\right)+...+5^{28}\cdot\left(1+5+25\right)\)
\(A=5\cdot31+5^4\cdot31+...+5^{28}\cdot31\)
\(A=31\cdot\left(5+5^4+...+5^{28}\right)\)
Vậy A chia hết cho 31
BV
1
HT
8 tháng 4 2021
A = 2 + 22 + 23 + ...+ 230
A = ( 2 + 22 ) + ( 23 + 24 ) + ....+ ( 229 + 230 )
A = 2(1+2) + 23(1+2) + ....+ 229(1+2)
A = 2.3 + 23 . 3 + ...+ 229.3
A = 3(2+23 + ...+ 229) \(⋮\) 3
Vậy A chia hết cho 3
TT
4
19 tháng 11 2017
A =(5+5^2)+(5^3+5^4)+.....+(5^2007+2^2008)
=30+5^2.(5+5^2)+....+5^2006.(5+5^2)
=30+5^2.30+....+5^2006.30
=30.(1+5^2+...+5^2006) chia hết cho 30
=> ĐPCM
k mk nha
19 tháng 11 2017
Ta có: \(A=5+5^2+.....+5^{2008}\)
\(\Rightarrow A=\left(5+5^2+5^3\right)+.....+\left(5^{2006}+5^{2007}+5^{2008}\right)\)
\(=5.\left(1+5+5^2\right)+.....+5^{2006}.\left(1+5+5^2\right)\)
\(=5.31+....+5^{2006}.31\)
\(31.\left(5+....+5^{2006}\right)⋮31\)
Vậy A chia cho 30 dư 1
16 tháng 11 2018
1:\(A=1+3+3^2+3^3+...+3^{11}\)
\(A=\left(1+3\right)+\left(3^2+3^3\right)+...+\left(3^{10}+3^{11}\right)\)
\(A=4+3^2\cdot\left(1+3\right)+...+3^{10}\cdot\left(1+3\right)\)
\(A=4+3^2\cdot4+....+3^{10}\cdot4\)
\(A=4\cdot\left(1+3^2+...+3^{10}\right)\) chia hết cho 4
Vì ta có 4 chia hết cho 4 => A có chia hết cho 4
Vậy A chia hết cho 4
16 tháng 11 2018
2:
\(C=5+5^2+5^3+...+5^8\) chia hết cho 30
\(C=\left(5+5^2\right)+...+\left(5^7+5^8\right)\)
\(C=30+5^2\cdot\left(5+5^2\right)+...+5^6\cdot\left(5+5^2\right)\)
\(C=30\cdot1+5^2\cdot30+...5^6\cdot30\)
\(C=30\cdot\left(5^2+...+5^6\right)\)
Vì ta có 30 chia hết cho 30 nên suy ra C có chia hết cho 30
Vậy C có chia hết cho 30
Ta có :
\(a^5-a\)
\(=a\left(a^4+1\right)\)
\(=a\left[\left(a^2\right)^2+1^2\right]\)
\(=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\) chia hết cho 2 và 3
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-2^2+5\right)\)
\(=a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) chia hết cho 5
Mà (2, 3, 5) = 1 \(\Rightarrow a^5-a\) chia hết cho 2, 3 và 5
\(\Rightarrow a^5-a\) chia hết cho 30
\(\Rightarrow\left(đpcm\right)\)
Cách khác:
Ta có: \(a^5-a\)
\(=a\left(a^4-1\right)\)
\(=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=\left(a-1\right)\cdot a\cdot\left(a+1\right)\cdot\left(a^2+1\right)\)
Vì a-1 và a là hai số tự nhiên liên tiếp nên \(\left(a-1\right)\cdot a⋮2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\cdot a\cdot\left(a+1\right)⋮2\)
mà \(\left(a-1\right)\cdot a\cdot\left(a+1\right)⋮3\)(Do a-1;a;a+1 là ba số tự nhiên liên tiếp)
nên \(\left(a-1\right)\cdot a\cdot\left(a+1\right)⋮6\)
hay \(a^5-a⋮6\)
mà \(a^5-a⋮5\)(Theo định lí Fermat nhỏ, ta có: Nếu \(a^p-a\) có p là số nguyên tố thì \(a^p-a⋮p\), 5 là số nguyên tố)
nên \(a^5-a⋮30\)(đpcm)