cho x,y \(\in\) R thỏa mãn x > 8y > 0. chứng minh: \(x+\frac{1}{y\left(x-8y\right)}\ge6\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HH
2
T
7 tháng 8 2017
Vì x>8y>0 áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương
\(P=x+\dfrac{1}{y\left(x-8y\right)}=\left(x-8y\right)+8y+\dfrac{1}{y\left(x-8y\right)}\ge3\sqrt[3]{\left(x-8y\right).8y.\dfrac{1}{y\left(x-8y\right)}}=3\sqrt[3]{8}=6\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x-8y=8y=\dfrac{1}{y\left(x-8y\right)}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
7 tháng 8 2017
vì x>8y>0 nên x-8y>0
Ta có : P=\(x+\dfrac{1}{y\left(x-8y\right)}\)= x-8y+8y+ \(\dfrac{1}{y\left(x-8y\right)}\)
ÁP dụng BĐT côsy cho 3 số dương dạng a+b+c\(\ge\) 3\(\sqrt[3]{abc}\) ta đc:
P \(\ge\)3\(\sqrt[3]{\left(x-8y\right).8y.\dfrac{1}{y\left(x-8y\right)}}\)\(\ge\) 3.2=6
Vậy Pmin=6 khi đó dấu "=" xẫy ra khi : \(x-8y=8y=\dfrac{1}{y\left(x-8y\right)}\)
<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
CT
1
14 tháng 2 2020
+ Ap dung bdt Co-si :
\(F=x-8y+8y+\frac{1}{y\left(x-8y\right)}\ge3\sqrt[3]{\left(x-8y\right)\cdot8y\cdot\frac{1}{y\left(x-8y\right)}}=6\)
Dau "=" \(\Leftrightarrow x-8y=8y=\frac{1}{y\left(x-8y\right)}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
CT
0
PN
8 tháng 2 2021
dùng bđt phụ \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\) với bđt Cô-si nhé
TN
22 tháng 4 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}=\frac{\left(x+y+\frac{x+y}{xy}\right)^2}{2}\)
Lại có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow1\ge4xy\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge4\)
Khi đó \(A\ge\frac{\left(1+\frac{1}{xy}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{5^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
28 tháng 8 2021
Áp dụng BĐT BSC và BĐT Cosi:
\(17\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\ge17\left(x+y+z\right)+\frac{2.\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\)
\(=17\left(x+y+z\right)=\frac{18}{x+y+z}\)
\(=17\left(x+y+z\right)=\frac{17}{x+y+z}+\frac{1}{x+y+z}\)
\(\ge2\sqrt{17\left(x+y+z\right).\frac{17}{x+y+z}}+\frac{1}{1}\)
\(=35\)
\(\Rightarrow17\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge35\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
28 tháng 8 2021
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM kết hợp giả thiết x + y + z ≤ 1 ta có :
\(17\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=17x+17y+17z+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}\)
\(=\left(18x+\frac{2}{x}\right)+\left(18y+\frac{2}{y}\right)+\left(18z+\frac{2}{z}\right)-\left(x+y+z\right)\)
\(\ge2\sqrt{18x\cdot\frac{2}{x}}+2\sqrt{18y\cdot\frac{2}{y}}+2\sqrt{18z\cdot\frac{2}{z}}-1=12\cdot3-1=35\)( đpcm )
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1/3
Xài am-gm ta có:
\(\left(x-8y\right)+\frac{1}{y\left(x-8y\right)}+8y\ge3\sqrt[3]{\left(x-8y\right)\frac{1}{x-8y}8y}=6\)
Dấu = khi \(x-8y=\frac{1}{y\left(x-8y\right)}=8y\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=\frac{1}{4}\end{cases}}\)