cho m/n=1+1/2+1/3+.....+1/1998 với m, n là số tự nhiên
chứng minh rằng m chia hết cho 1999, nêu bài toán tổng quát
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
4 tháng 7 2015
Ta có: m/n=1+1/2+1/3+...+1/1998
=(1+1/1998)+(1/2+1/1997)+...+(1/999+1/1000)
=1999/1.1998+1999/2.1997+...1999/999.100
Quy đồng phân số,ta chọn MC:1.2.3...1997.1998
Gọi các thừa số phụ tương ứng là a1,a2, ...a999
m/n=1999(a1+a2+a3+...+a999)/1.2.3....1997.1998
Do 1999 là số nguyên tố . Sau khi rút gọn vẫn còn thừa số 1999 =>m chia hết 1999
2 tháng 7 2015
m/n=1+1/2+1/3+...+1/1998
=>m/n=(1+1/1998)+(1/2+1/1997)+...+(1/999+1/1000)
=>m/n=1999/1.1998+1999/2.19997+...+1999/999.1000
Quy đồng mẫu số các phân số ta chọn mẫu số chung là: 2.3.4.....1997.1998
gọi các thừa số phụ lần lượt là:k1;k2;k3;.....;k999
ta có m/n=1999.(k1+k2+k3+...+k999)/2.3.4.....1997.1998
ta thấy m là số chia hết cho 1999 mà 1999 là số nguyên tố và mẫu số không chứa thừa số nguyên tố 1999 nên khi rút gọn phân số đến tối giản thì m vẫn luôn chia hết cho 1999
8 tháng 1 2018
Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{a+1}=\frac{a+1+a}{a\left(a+1\right)}\)= \(\frac{2a+1}{a\left(a+1\right)}\)
m/n = ( 1 + \(\frac{1}{1998}\)) + ( \(\frac{1}{2}+\frac{1}{1997}\)) + ( \(\frac{1}{3}+\frac{1}{1996}\)) +......+ ( \(\frac{1}{999}+\frac{1}{1000}\))
m/n = \(\frac{1999}{1998}+\frac{1999}{1997x2}+\frac{1999}{1996x3}+.....+\frac{1999}{999x1000}\)
m/n = 1999 x (\(\frac{1}{1998}+\frac{1}{1997x2}+\frac{1}{1996x3}+.....+\frac{1}{999x1000}\))
=> m chia hết cho 1999
13 tháng 6 2018
\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1996}+\frac{1}{1997}+\frac{1}{1998}=\left(1+\frac{1}{1998}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{1997}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{1996}\right)+...+\left(\frac{1}{999}+\frac{1}{1000}\right)\)
\(=\frac{1999}{1998}+\frac{1999}{2.1997}+\frac{1999}{3.1996}+...+\frac{1999}{999.1000}=1999.\left(\frac{1}{1998}+\frac{1}{2.1997}+...+\frac{1}{999.1000}\right)⋮1999\)
\(\Rightarrow\frac{m}{n}⋮1999\Rightarrow m⋮1999\)
BTTQ: Nếu \(\frac{m}{n}=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{k}\left(k\inℕ^∗\right)\)thì m\(⋮\left(k+1\right)\)
13 tháng 6 2018
Ta có : \(\frac{m}{n}\)= \(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{1998}\)
= ( 1 + 1/1998 ) + ( 1/2 + 1/1997 ) + ... + ( 1/99 + 1/1000 )
= \(\frac{1999}{1998}+\frac{1999}{2.1997}+...+\frac{1999}{999.1000}\)
= \(\frac{1999.\left(a_1+a_2+...+a_{1999}\right)}{1.2.3....1998}\)( a1 ; a2 ; ... là các thừa số phụ tương ứng của các phân số )
= \(\frac{1999.\left(a_1+a_2+...+a_{1999}\right)}{1.2.3....1998}\)=> tử \(⋮\)1999
Vì 1999 là số nguyên tố mà n k có thừa số 1999 => n ko chia hết cho 1999 . Dù rút gọn về phân số tối giản thì tử \(⋮\)1999 hay m \(⋮\)1999
Do đó dạng tổng quát là :
m/n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k => m \(⋮\)k ( k thuộc N* )
9 tháng 4 2017
Ta có:
\(\frac{m}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1998}\)
\(=\left(1+\frac{1}{1998}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{1997}\right)+...+\left(\frac{1}{999}+\frac{1}{1000}\right)\)
\(=\frac{1999}{1.1998}+\frac{1999}{2.1997}+...+\frac{1999}{999.100}\)
Quy đồng phân số, ta chọn Mẫu chung la : 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 1997 x 1998
Gọi các thừa số phụ tương ứng là a1, a2, a3, ..., a999
\(\frac{m}{n}=\frac{1999\left(a1+a2+a3+...+a999\right)}{1.2.3.4.....1997.1998}\)
Do 1999 là số nguyên tố. Sau khi rút gọn vẫn còn thừa số 1999 suy ra m chia hết cho 1999