Question

[Bùi Khắc Tuấn Khải]

1Cho \(a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd=M\) biết :ad-bc=1. Chứng minh \(M\ge\sqrt{3}\)

2,Giải phương trình: \(2x^2+\sqrt{1-x}+2x\sqrt{1-x^2}=1\)

Answer 1

[Thắng Nguyễn]

\(\Leftrightarrow2x\sqrt{1-x^2}+2x^2+\sqrt{1-x}=1\)

\(\Leftrightarrow2x\sqrt{1-x^2}+2x^2+\sqrt{1-x}-1=0\)

\(\Leftrightarrow x=0\)

Answer 2

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

1. 

\(\left(ad-bc\right)^2+\left(ac+bd\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

Thay ad-bc=1 \(\Rightarrow1+\left(ac+bd\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

Áp dụng bđt Cosi : 

\(\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2+d^2\right)\ge2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+d^2\right)}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\ge2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}+ac+bd\)

Do đó chỉ cần chứng minh \(2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}+ac+bd\ge\sqrt{3}\) hay \(2\sqrt{1+\left(ac+bd\right)^2}+ac+bd\ge\sqrt{3}\)

Đặt \(ac+bd=x\) và \(y=2\sqrt{1+x^2}+x\)

Ta có ; \(\left|x\right|=\sqrt{x^2}< 2\sqrt{1+x^2}\) mà \(\left|x\right|\ge-x\Rightarrow y>0\)

Xét : \(y^2=4\left(1+x\right)^2+4x\sqrt{1+x^2}+x^2=\left(1+x\right)^2+4x\sqrt{1+x^2}+4x^2+3\)

\(=\left(\sqrt{1+x^2}+2x\right)^2+3\ge3\)\(\Rightarrow y^2\ge3\Rightarrow y\ge\sqrt{3}\)

Suy ra \(M\ge\sqrt{3}\)(đpcm)