Cho a+b=1, a>0, b>0
Cmr (1+1/a) (1+1/b) >= 9
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
1
C
22 tháng 9 2019
Áp dụng BĐT Cô -si cho 3 số dương:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
NH
1
27 tháng 4 2016
ta xét vế trái =1+\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}\)=\(\frac{2}{ab}+1\)
mặt khác :a+b>=\(2\sqrt{ab}\)
=> (a+b)^2>=4ab
=>ab<=\(\frac{1}{4}\)
=>1/ab>=1/4
=>VT>=1+2*4=9
dấu = khi a=b=1/2
HN
1
3 tháng 5 2015
Vế trái = \(1+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{ab}=1+\frac{a+b+1}{ab}=1+\frac{2}{ab}\)
ta có: a + b \(\ge2.\sqrt{ab}\) => (a+b)2 \(\ge\left(2.\sqrt{ab}\right)^2=4.ab\Rightarrow ab\le\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{1}{ab}>4\)
=> Vế trái \(\ge\) 1 + 2.4 = 9
Dấu = khi a = b = 1/2
TT
1
23 tháng 3 2017
Áp dụng dịnh lí Côsi, ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(=9\sqrt[3]{abc.\frac{1}{abc}}\)
\(=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
=1+1/a+1/b+1/ab (1)
Áp dụng Cosy ta có 1/a+1/b>=4/(a+b)=4 (2)
(a+b)^2>=4ab nên ab<=(a+b)^2/4=1/4 hay 1/ab>=4 (3)
Từ (1)(2)(3) ta đc 1+1/a+1/b+1/ab>=1+4+4=9 (đpcm)
Ta có: \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)=\left(1+\frac{a+b}{a}\right)\left(1+\frac{a+b}{b}\right)\) \(=\left(1+1+\frac{b}{a}\right)\left(1+1+\frac{a}{b}\right)\) \(=\left(2+\frac{b}{a}\right)\left(2+\frac{a}{b}\right)\) \(=4+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\frac{ab}{ab}\) \(=5+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
. Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{b}{a}\) , ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{ab}}=2\) . Suy ra \(2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge4\)
. Suy ra \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\ge5+4=9\) (đpcm)
. Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)