Cho a/b < c/d.
Chứng minh: \(\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 6 2018
\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\Rightarrow ab+ad< ab+bc\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\left(1\right)\)
\(ad< bc\Rightarrow ad+cd< bc+cd\Rightarrow\left(a+c\right)d< \left(b+d\right)c\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\left(2\right)\)
từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
9 tháng 2 2017
\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)
\(\Leftrightarrow ad< bc\)
\(\Leftrightarrow ad+ab< bc+ab\)
\(\Leftrightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) (1)
\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)
\(\Leftrightarrow ad< bc\)
\(\Leftrightarrow ad+cd< bc+cd\)
\(\Leftrightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) (2)
Từ (1) ; (2) \(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) (đpcm)
8 tháng 9 2018
Ta có : \(b>0,d>0,\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow ad< bc\) ( 1 )
\(\Rightarrow ad+ab< bc+ab\)
\(\Rightarrow a\left(d+b\right)< b\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)
Vì \(b>0,d>0,\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{c}{d}=ad< bc\)
\(\Rightarrow ad+cd< bc+cd\) ( 2 )
\(\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
11 tháng 6 2019
Do a < b < c < d < m < n
=> 2c < c + d
m< n => 2m < m+ n
=> 2c + 2a +2m = 2 ( a + c + m) < a +b + c + d + m + n)
Do đó :
(a + c + m)/(a + b + c + d + m + n) < 1/2(đcpcm)
11 tháng 6 2019
Từ:\(\hept{\begin{cases}a< c\\c< d\\m< n\end{cases}}\Rightarrow a+c+m< c+d+n\)
\(\Rightarrow2\left(a+c+n\right)< a+b+c+d+m+n\)
\(\Rightarrow\frac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}< \frac{1}{2}\)
9 tháng 9 2019
Theo ví dụ trên,ta có a/b < c/d => ad < bc.
Suy ra:
<=> ad + ab < bc + ba <=> a(b+d) < b(a+c) <=> a/b < (a+c)/(b+d).
Mặt khác ad < bc => ad +cd < bc + cd <=> d(a+c) < (b+d)c <=> (a+c)/(b+d) < c/d.
Vâỵ : ....
11 tháng 5 2016
Cho \(\frac{a}{b}<\frac{c}{d}\Rightarrow\)ad<bc
Ta so sánh:\(\frac{a}{b}và\frac{a+c}{b+d}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(a+c\right)}{b\left(a+c\right)}và\frac{\left(a+c\right)a}{\left(b+d\right)a}\)
\(\Leftrightarrow\frac{aa+ac}{ba+bc}và\frac{aa+ca}{ba+da}\)
Vì aa+ac=aa+ca nên ta so sánh ba+bc và ba+da
Vì ba=ba nên ta so sánh bc và da
Mà bc>da \(\Rightarrow\)ba+bc>ba+da
\(\Rightarrow\)\(\frac{aa+ac}{ba+bc}<\frac{aa+ca}{ba+da}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}\)(1)
Ta so sánh:\(\frac{a+c}{b+d}và\frac{c}{d}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+c\right)c}{\left(b+d\right)c}và\frac{\left(a+c\right)c}{\left(a+c\right)d}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ac+cc}{bc+dc}và\frac{ac+cc}{ad+cd}\)
Vì ac+cc=ac+cc nên ta so sánh bc+dc và ad+cd
Vì dc=cd nên ta so sánh bc và ad
Mà bc>ad
\(\Rightarrow\frac{ac+cc}{bc+dc}<\frac{ac+cc}{ad+cd}\)
\(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}\)(2)
Từ (1) và (2):
\(\Rightarrow\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}\)
26 tháng 10 2016
a/b<c.d
=>ad<bc
=> ad+ab<bc+ab
=> a*(b+d)<b*(a+c)
=>a/b<a+c/b+d (1)
Lại có ad < bc
=> ad + cd < bc + cd
=> d*(a+c)<c*(b+d)
=>c/d>a+c/b+d (2)
Từ (1) và (2)
=> a/b<a+c/b+d<c/d
=> DPCM
HK
1
15 tháng 10 2016
Áp dụng \(\frac{a}{b}< 1\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\left(a;b;m>0\right)\)
Ta có:
\(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}< \frac{2a}{a+b+c+d}+\frac{2b}{a+b+c+d}+\frac{2c}{a+b+c+d}+\frac{2d}{a+b+c+d}\)
\(< \frac{2a+2b+2c+2d}{a+b+c+d}\)
\(< \frac{2.\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}\)
\(< 2\left(đpcm\right)\)